《2019版高考文数一轮复习课件：第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值与最值 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考文数一轮复习课件：第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值与最值 （30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 导数与函数的极值与最值,总纲目录,教材研读,1.函数的极值与导数,考点突破,2.函数的最值与导数,考点二 利用导数研究函数的最值,考点一 运用导数研究函数的极值,考点三 函数的极值与最值的综合问题,1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 都小 , f (a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f (x)0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值,教材研读, 都大 , f
2、(b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f (x)0 ,右侧 f (x)0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值, 极大值 和 极小值 统称为极值.,2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a,b上有最值的条件: 一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤: (i)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 ; (ii)将函数y=f(x)的各极值与 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,1
3、.函数f(x)的定义域为R,导函数y=f (x)的图象如图所示,则函数f(x) ( )A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点,C,答案 C 设f (x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、 x2、x3、x4.当x0, f(x)为增函数, 当x1xx2时, f (x)-1时,y0;当x-1时,y0.当 x=-1时函数取得最小值,且ymin=- .故选C.,C,3.(2017北京海淀期中)已知函数y=f(x)的导函数有且仅有两个零点,其图 象如图所示,则函数y=f(x)在x= 处取得极值.,答
4、案 -1,解析 由题图知,x-1时, f (x)0, 所以函数y=f(x)在x=-1处取得极值.,-1,4.(2015北京顺义一模)已知函数f(x)=x3-6x2+9x,则f(x)在闭区间-1,5上的 最小值为 ,最大值为 .,答案 -16;20,考点一 运用导数研究函数的极值,考点突破,典例1 (2016北京海淀期末)已知函数f(x)= +kln x,其中k0. (1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间和极值; (2)若关于x的方程f(x)=k有解,求实数k的取值范围.,解析 函数f(x)= +kln x的定义域为(0,+), f (x)=- + . (1)当k=1时,f (x)=- +
5、= , 令f (x)=0,得x=1. f (x),f(x)随x的变化情况如下表:,所以f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=1,无极大值. f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+). (2)因为关于x的方程f(x)=k有解, 所以可令g(x)=f(x)-k= +kln x-k,则问题转化为函数g(x)在(0,+)内存在 零点. g(x)=- + = . 令g(x)=0,得x= . 当k0,g( )= +k -k= -1 -10时,g(x),g(x)随x的变化情况如下表:,所以函数g(x)的最小值为g =k-k+kln =-kln k, 当g 0,即00, 所以函数
6、g(x)存在零点. 综上,实数k的取值范围是k1,且方程f(x)=a-x在区间-a,0上恰有两个不相等的实数根,求实 数a的最小值.,解析 (1)因为f (x)=3(x2-a),所以f (0)=-3a, 因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=-3ax. (2)因为f (x)=3(x2-a), 所以当a0时, f (x)0在R上恒成立, 所以f(x)在R上单调递增, f(x)没有极值点,不符合题意; 当a0时,令f (x)=0得x= , 当x变化时, f (x)与f(x)的变化情况如下表所示:,方程f(x)=a-x在-a,0上恰有两个不相等的实数根等价于函数
7、h(x)在-a, 0上恰有两个不同零点,h(x)=3x2+(1-3a), 因为a1,令h(x)=0,得x= , 所以 所以,所以 因为a1,所以 -a0恒成立, 所以a2,所以实数a的最小值为2.,考点二 利用导数研究函数的最值,典例2 (2017北京,20,13分)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.,方法技巧 求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点的函数值f(a), f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a
8、), f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值.,2-1 (2017北京海淀期中)已知函数f(x)= . (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)当a0,解得x2, f(x)在(-,2)上递增,在(2,+)上递减. (2)由f(x)= 得f (x)= ,x0,1, 令f (x)=0,解得x=1+ 1(a0), 当1+ 0,即-1a0时, f (x)0在x0,1上恒成立, f(x)在0,1上递增, f(x)min=f(0)=-1;,当01+ 1,即a-1时, f (x), f(x)在0,1上的情况如下:,f(x)min=f = . 综上,-1a0时, f(x)min
9、=-1, a-1时, f(x)min= .,解析 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c, 得f (x)=3x2+2ax+b. 由曲线y=f(x)在点x=1处的切线l的斜率为3,可得31+2a+b=3, 当x= 时,y=f(x)有极值, 则f =0, 即3 +2a +b=0, 由,解得a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为1,所以f(1)=4. 所以1+a+b+c=4,得c=5.,(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,f (x)=3x2+4x-4. 令f (x)=0,解得x1=-2,x2= . f (x), f(x)的取值及变化情况如下表:,所以y=f(x)在-3,1上的最大值为13,最小值为 .,方法技巧,3-1 已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16. (1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在-3,3上的最小值.,解析 (1)f(x)=ax3+bx+c, 故f (x)=3ax2+b, 由于f(x)在点x=2处取得极值c-16, 故有 即 化简得 解得a=1,b=-12.,
