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1、,（第三版）,运筹学教材编写组 编清华大学出版社,运筹学,第1章 线性规划与单纯形法第3节 单纯形法钱颂迪 制作,第1章 线性规划与单纯形法,第3节 单纯形法3.1 举例 3.2 初始基可行解的确定 3.3 最优性检验与解的判断 3.4 基变换 3.5 迭代（旋转运算）,单纯形法求解线性规划的思路：,一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数，这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小，决定下一步选择的单纯形。这就是迭代，直到目标函数实现最大值或最小值为止。这样问题就得到了最优解，先举一例来说明。,注：,
2、单纯形是指0维中的点，一维中的线段，二维中的三角形，三维中的四面体，n维空间中的有n+1个顶点的多面体。例如在三维空间中的四面体，其顶点分别为(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)。具有单位截距的单纯形的方程是xi1，并且xi0，i=1,2,m。,3.1 举例,例6 试以例1来讨论如何用单纯形法求解。例1的标准型为：,约束方程(1-12)式的系数矩阵,从(1-12)式中可以看到x3,x4,x5的系数列向量,P3 ,P4,P5是线性独立的，这些向量构成一个基 对应于B的变量x3,x4,x5为 基变量.,从(1-12)式中可以得到（1-13）,将(1-13)式代入目标函数(
3、1-11),得到 当令非基变量x1=x2=0，便得到z=0。这时得到一个基可行解X(0) X(0)=(0,0,8,16,12)T 这个基可行解表示：工厂没有安排生产产品、；资源都没有被利用，所以工厂的利润指标z=0。,从分析目标函数的表达式(1-14)可以看到,非基变量x1,x2(即没有安排生产产品，)的系数都是正数，因此将非基变量变换为基变量，目标函数的值就可能增大。从经济意义上讲，安排生产产品或，就可以使工厂的利润指标增加。所以只要在目标函数(1-14)的表达式中还存在有正系数的非基变量，这表示目标函数值还有增加的可能，就需要将非基变量与基变量进行对换。,如何确定换入变量，换出变量,一般选
4、择正系数最大的那个非基变量x2为换入变量，将它换入到基变量中去，同时还要确定基变量中有一个要换出来成为非基变量，可按以下方法来确定换出变量。 现分析(1-13)式，当将x2定为换入变量后，必须从x3,x4,x5中确定一个换出变量，并保证其余的都是非负，即x3,x4,x50。,当x1=0,由(1-13)式得到,x2取何值时，才能满足非负要求,从(1-15)式中可以看出，只有选择 x2=min(8/2,-,12/4)=3时， 才能使(1-15)式成立。 因当x2=3时，基变量x5=0，这就决定用x2去替换x5。,以上数学描述说明了每生产一件产品，需要用掉各种资源数为(2，0，4)。由这些资源中的薄
5、弱环节，就确定了产品的产量。 这里就是由原材料B的数量确定了产品的产量x2=12/4=3件。,为求得以x3,x4,x2为基变量的一个基可行解和进一步分析问题，需将(1-13)中x2的位置与x5的位置对换。得到,用高斯消去法,将(1-16)式中x2的系数列向量变换为单位列向量。其运算步骤是： =/4；=-2;=, 并将结果仍按原顺序排列有：,再将(1-17)式代入目标函数(1-11)式得到,从目标函数的表达式(1-18)中可以看到，非基变量x1的系数是正的，说明目标函数值还可以增大，X(1)还不是最优解。 于是再用上述方法，确定换入、换出变量，继续迭代，再得到另一个基可行解X(2) X(2)=(
6、2,3,0,8,0)T 再经过一次迭代，再得到一个基可行解X(3) X(3)=(4,2,0,0,4)T 而这时得到目标函数的表达式是： z=14-1.5x3-0.125x4 (1-19),再检查(1-19)式，可见到所有非基变量x3,x4的系数都是负数。这说明若要用剩余资源x3,x4，就必须支付附加费用。 所以当x3=x4=0时，即不再利用这些资源时，目标函数达到最大值。所以X(3)是最优解。即当产品生产4件，产品生产2件，工厂才能得到最大利润。,通过上例，可以了解利用单纯形法求解线性规划问题的思路。现将每步迭代得到的结果与图解法做一对比，其几何意义就很清楚了。,原例1的线性规划问题是二维的，
7、 即两个变量x1,x2；当加入松弛变量x3,x4,x5后， 变换为高维的。 这时可以想象，满足所有约束条件的可行域是高维空间的凸多面体(凸集)。,这凸多面体上的顶点，就是基可行解。,初始基可行解 X(0)=(0,0,8,16,12)T 就相当于图1-2中的原点(0，0)， X(1)=(0,3,2,16,0)T 相当于 图1-2中 的Q4点(0，3)；,X(2)=(2，3，0，8，0)T相当于 图1-2中的 Q3点(2，3)， 最优解X(3)=(4，2，0，0，4)T 相当于图1-2中的 Q2点(4，2)。 从初始基可行解X(0)开始迭代，依次得到X(1)，X(2)，X(3)。这相当于图1-2中
8、的目标函数平移时， 从0点开始，首先碰到Q4，然后碰到Q3，最后达到Q2。下面讨论一般线性规划问题的求解。,一般线性规划问题的求解 3.2 初始基可行解的确定,为了确定初始基可行解，要首先找出初始可行基，其方法如下。 (1)直接观察 (2)加松弛变量 (3)加非负的人工变量,(1)直接观察,若线性规划问题,从Pj(j=1,2,n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基,(2)加松弛变量,对所有约束条件是“”形式的不等式，可以利用化为标准型的方法，在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。 经过整理，重新对xj及aij(i=1,2,m;j=1,2,n)进行编号，则可得下列方程组,x1,x2,xm 为松
9、弛变量,于是含有mm单位矩阵，以B 作为可行基。,将(1-22)式每个等式移项得,令xm+1=xm+2=xn=0，由(1-23)式可得 xi=bi (i=1,2,m),得到一个初始基可行解,又因bi0(在1-3节中已做过规定)，所以得到一个初始基可行解 X=(x1,x2,xm,0，0)T n-m个=(b1,b2,bm,0，0)T n-m个,(3)加非负的人工变量,对所有约束条件是“”形式的不等式及等式约束情况，若不存在单位矩阵时，就采用人造基方法。 即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后，再加上一个非负的人工变量； 对于等式约束再加上一个非负的人工变量，总能得到一个单位矩阵。关于这个方法将在本
10、章第5节中进一步讨论。,3.3最优性检验与解的判别,对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况， 为此需要建立对解的判别准则。一般情况下，经过迭代后(1-23)式变成,将 代入目标 函数(1-20)式，整理后得,令,1最优解的判别定理,若 为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j=m+1,n，有j0，则X(0)为最优解。称j为检验数。,当所有非基变量的j0时，由（1-27）式可知已不存在任一可换入的非基变量，使目标函数继续增大。所以以j0，为最优解的判别准则。,2.无穷多最优解判别定理,若 为一个基可行解，对于一切j=m+1，,n，有j0，又存在某个非基
11、变量的检验数m+k=0，则线性规划问题有无穷多最优解。 证: 只需将非基变量xm+k换入基变量中，找到一个新基可行解X(1)。因m+k=0，由(1-27)知z=z0，故X(1)也是最优解。由2.2节的定理3可知X(0)，X(1)连线上所有点都是最优解。,3无界解判别定理,若 为一基可行解，有一个m+k0，并且对i=1,2,，m，有存在。 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。,证: 构造一个新的解 X(1)，它的分量为,因 ，所以对任意的0都是可行解，把x(1)代入目标函数内得 z=z0+m+k 因m+k0，故当+，则z+，故该问题目标函数无界。,以上讨论都是针对标准型，即求目标函数极
12、大化时的情况。当求目标函数极小化时，一种情况如前所述，将其化为标准型。 如果不化为标准型，只需在上述1，2点中把j0改为j0，第3点中将 m+k0改写为m+k0即可。,3.4 基变换,若初始基可行解X(0)不是最优解及不能判别无界时，需要找一个新的基可行解。具体做法是从原可行解基中换一个列向量(当然要保证线性独立)，得到一个新的可行基，这称为基变换。为了换基，先要确定换入变量，再确定换出变量，让它们相应的系数列向量进行对换，就得到一个新的基可行解。,1.换入变量的确定,由(1-27)式看到，当某些j0时，xj增大，则目标函数值还可以增大。这时要将某个非基变量xj换到基变量中去(称为换入变量)。
13、若有两个以上的j0，那么选哪个非基变量作为换入变量呢?为了使目标函数值增加得快，从直观上一般选j0中的大者，即,则对应的xk为换入变量。但也可以任选或按最小足码选。,2.换出变量的确定,设P1，P2，Pm是一组线性独立的向量组，它们对应的基可行解是X(0)。将它代入约束方程组(1-21)得到,其他的向量Pm+1,Pm+2,Pm+t,Pn都可以 用P1，P2，Pm线性表示， 若确定非基变量Pm+t为换入变量，必然可以找到一组不全为0的数(i=1,2,m)使得,在(1-29)式两边同乘一个正数，然后将它加到(1-28)式上，得到,新的基可行解。,由此得到由X(0)转换到X(1)的各分量的转换公式,
14、这里 是原基可行解X(0)的各分量； 是新基可行解X(1)的各分量；,i,m+t是换入向量Pm+t的对应原来一组基向量的坐标。 现在的问题是，这个新解X(1)的m个非零分量对应的列向量是否性独立?事实上，因X(0)的第l个分量对应于X(1)的相应分量是零，即,成立。又因,将(1-32)式减(1-31)式得到,由于上式中至少有l,m+t0， 所以上式表明P1，P2，Pm是线性相关， 这与假设相矛盾。,由此可见，X(1)的m个非零分量对应的列向量Pj(j=1,2,m,jl)与Pm+t是线性独立的，,即经过基变换得到的解是基可行解。 实际上，从一个基可行解到另一个基可行解的变换，就是进行一次基变换。
15、从几何意义上讲，就是从可行域的一个顶点转向另一个顶点(见1-2图解法),3.5 迭代(旋转运算) 上述讨论的基可行解的转换方法是用向量方程来描述，在实际计算时不太方便，因此采用系数矩阵法。 现考虑以下形式的约束方程组,一般线性规划问题的约束方程组中加入松弛变量或人工变量后， 很容易得到上述形式,设x1,x2,xm为基变量，对应的系数矩阵是mm单位阵I， 它是可行基。令非基变量xm+1,xm+2,xn为零， 即可得到一个基可行解。 若它不是最优解，则要另找一个使目标函数值增大的基可行解。这时从非基变量中确定xk为换入变量。显然这时为,在迭代过程中可表示为,其中是经过迭代后对应于的元素值。,按规则确定xl为换出变量，xk, xl的系数列向量分别为,为了使xk与xl进行对换，须把Pk变为单位向量，这可以通过(1-33)式系数矩阵的增广矩阵进行初等变换来实现。,变换的步骤是： (1) 将增广矩阵(1-34)式中的第l行除以al k，得到,(2) 将(1-34)式中xk列的各元素，除al k变换为1以外，其他都应变换为零。其他行的变换是将(1-35)式乘以 ai k(il)后，从(1-34)式的第i行减去，得到新的第i行。,
