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1、第八章 能量法,弹性体受力变形过程中，外力将完成一定量的功。若不考虑能量以热或其它形式的损耗，根据能量守恒原理，外力功全部转化为弹性体的应变能（变形能）。利用这种功和能的概念求解位移、变形和内力的方法称为能量法。能量法是求解结构变形和位移的快捷和有效的方法，也是结构数值分析的基础。,杆件的应变能计算,几个重要的能量定理,变形体的虚功原理,用能量法计算指定位移,计算超静定问题的正则方程,冲击应力的计算,一、力的功 功共轭(广义力、广义位移),常力的功：,力的功可表示为分别代表力和位移的两个因子的乘积，这两个因子称为功共轭量。其中代表力的因子称为广义力；代表位移的因子称为广义位移，也称为广义力的相
2、应位移。,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,变力的功：,在线弹性范围内，有,余功：,对受力变形的弹性体，若不计其他能量的耗散，弹性体内的应变能与外力功在数值上相等,二、杆件的应变能 克拉贝隆原理,克拉贝隆原理,应变能的大小只取决于载荷与变形的终值，与加载途径及先后次序等无关，考察简单加载，有：,一、力的功 功共轭(广义力、广义位移),8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,二、杆件的应变能 克拉贝隆原理,利用外力功计算应变能并不方便，在更多情况下主要是通过内力功来计算。,拉压杆的应变能,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,二、杆件的应变能 克拉贝隆原理,拉压杆
3、的应变能,圆轴扭转的应变能,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,二、杆件的应变能 克拉贝隆原理,拉压杆的应变能,圆轴扭转的应变能,T,梁平面弯曲时的应变能,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,二、杆件的应变能 克拉贝隆原理,拉压杆的应变能,圆轴扭转的应变能,T,梁平面弯曲时的应变能,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,二、杆件的应变能 克拉贝隆原理,应变能的计算一般是不能叠加的。但如果一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功，则二者同时作用时的应变能等于两种载荷单独作用时的应变能之和。,三、利用实功原理求单力系统外力的相应位移,例：图示悬臂梁 AB 的 EI 是常数，在自由端作用一横力 F 和一
4、力偶矩 m ，求梁的应变能。,解：由外力功计算应变能,横力的相应位移为自由端的挠度，力偶矩的相应位移为自由端的转角，分别为：,由克拉贝隆原理：,由内力功计算应变能，不计剪力的功。列出梁的弯矩方程,应变能的计算一般不能叠加,例：图示由 n 圈弹簧丝组成的密圈螺旋弹簧，沿弹簧轴线承受压力 F 作用。设弹簧的平均直径为 D，弹簧丝的直径为 d ，切变模量为 G 。试计算弹簧的轴向变形。,解：沿弹簧丝任一横截面将弹簧截开，讨论其内力,弹簧的变形主要由扭矩引起，可忽略剪力影响。对密圈弹簧，弹簧丝总长可近似为,则由内力功计算弹簧应变能，有,而外力在弹簧变形过程做的功等于应变能，有,可知，该弹簧的弹簧常数为
5、：,8.2 卡氏定理 互等定理,卡氏第一定理：,一、卡氏定理,在线弹性范围内，有,当第 i 个广义位移有一微小增量 时，应变能的增量为：,卡氏第二定理：,当第 i 个广义力有一微小增量 时，余能的增量为：,卡氏第二定理仅适用于线弹性范围,8.2 卡氏定理 互等定理,卡氏第一定理：,一、卡氏定理,先加广义力的增量，再加所有广义力，总应变能为：,卡氏第二定理：,当第 i 个广义力有一微小增量 时，总应变能为：,比较二式，并略去高阶小量，有,例：图示悬臂梁 AB 的 EI 是常数，在跨中作用一横力 F ，求 yC 、 A 。,B,A,l,解：F 是与 yC 相应的广义力，与 A 相应的广义力为作用在
6、自由端的力偶矩，可虚设一个“附加力” m ，最后在位移表达式中令其为零即可。( 附加力法 ),由卡氏第二定理,C,梁的应变能,求 yC,例：图示悬臂梁 AB 的 EI 是常数，在跨中作用一横力 F ，求 yC 、 A 。,B,A,l,由卡氏第二定理,C,求 A,8.2 卡氏定理 互等定理,讨论各广义力做功的关系：,二、互等定理,与第 i 个广义力对应的广义位移,由第 j 个广义力引起的与第 i 个广义力对应的广义位移,由与第 j 个广义力相应的单位力引起的与第 i 个广义力对应的广义位移,影响系数或柔度系数,1）先加 F1 再加 F2,2）先加 F2 再加 F1,考察一作用有两个广义力的线弹性
7、结构,8.2 卡氏定理 互等定理,二、互等定理,考察一作用有两个广义力的线弹性结构,1）先加 F1 再加 F2,2）先加 F2 再加 F1,两力做的总功与加载次序无关，即,则有,功互等定理,若 F1 = F2 ，有,位移互等定理,显然，影响系数间有,表示为一般形式,例：图示任一弹性体上作用有一对共线的力,大小相等方向相反，力作用点距离为 H ，弹性常数已知，试求其体积变化。,F,解：直接求解非常困难，可利用功互等定理计算，考察该弹性体受三向均布压力的情形,在变形时均布压力做的功,F,H,即，均布压力与体积改变是功共轭,令,则,在三向均布压力的情形下，弹性体内任意一点处于三向等值受压应力状态，其
8、应力等于 p 。有：,由功互等定理,外力越大或外力在弹性体内相距越远，则体积改变越大；材料弹性模量越大则体积改变越小。若泊松比为 0.5 ，就成为不可压缩体了。,8.3 虚功原理,相应虚广义位移和虚变形为：,与外力保持平衡的内力，称为可能内力。满足位移边界条件和变形连续条件的位移称为可能位移。与作用力系无因果关系的可能位移，相对该力系称为虚位移。力在虚位移上做的功，称为虚功。平衡力系在刚体位移上做的虚功为零。,变形体的虚功原理(虚位移原理)为：在外力作用下处于平衡的弹性体，任给一种虚位移。则外力在虚位移上做的虚功等于内力在虚变形上做的虚功。也可理解为外力虚功全部转化为虚应变能。,以弹性杆件说明
9、：在一组广义力作用下平衡的结构，在某种因素作用下产生微小的可能位移 。,以整体为对象计算，虚功为：,将杆件视为无数微段的组合，虚功为：,8.3 虚功原理,相应虚广义位移和虚变形为：,以整体为对象计算，虚功为：,将杆件视为无数微段的组合，虚功为：,在小变形情况下虚功原理适用于一般可变形体。,8.4 单位力法 图乘法,受各因素作用的实际结构，相应广义位移和变形：,一、单位力法：计算结构指定位移的一般方法,假设结构受与欲求位移相应的单位广义力，将在结构引起支反力和内力：(平衡的力状态),实际位移一定是可能位移。在小变形下，可作为虚位移。(变形协调的位移状态),则：,单位力法,单位力法适用于小变形下一
10、般可变形体(线弹性、非线性弹性)的位移计算。结果为正时，表示位移方向与假设单位力方向一致，为负表示两者方向相反。,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,F=1,A,F=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,F=1,8.4 单位力法 图乘法,其中实际变形是由载荷引起的,二、载荷作用产生的位移计算,对线弹性直杆结构，有：,该式称为莫尔定理，式中各积分称为莫尔积分。适用于线弹性杆件结构。,由卡氏定理也可得到和莫尔定理相同形式的位移计算公式。,例：图示桁架两杆横截面积均为 A，材料的物理关系为 |= c|1/2 ， c 是与材料有关的常数，在 D 节点作用一横力 F ，求节点 D 的铅直位移和水平
11、位移。,解：桁架各杆内只有轴力，由位移计算公式：,式中：,外力作用下各杆内力和应力为：,则：,求铅直位移Dy，在 D 点加向下的单位力，有,例：图示桁架两杆横截面积均为 A，材料的物理关系为 |= c|1/2 ， c 是与材料有关的常数，在 D 节点作用一横力 F ，求节点 D 的铅直位移和水平位移。,求水平位移Dx，在 D 点加向右的单位力，有,例：平面直角刚架两段的 EA 和EI 分别相等，试求 C点的铅直位移 yC 。,解：对线弹性结构，用莫尔定理计算铅直位移yC ，在 C 点加向下的单位力。,若,有,8.4 单位力法 图乘法,例：图示结构各杆长 l ，当支座 B 发生沉陷，试求节点 D
12、 的水平位移和铅直位移。,三、其他因素引起的位移计算,解：静定结构支座位移不会引起附加内力，也不会产生变形。结构只有刚体位移。,求铅直位移，在节点 D 加向下的单位力,求水平位移，在节点 D 加向右的单位力,例：悬臂梁如图所示，若其底面和顶面温度分别升高 T1 和 T2 ，且 T1 T2 ，并沿截面高度线性变化。已知材料的线膨胀系数l ，试求自由端的挠度和轴向位移。,解：任取一微段梁，分析其温度变形,若,若,求自由端挠度：,例：悬臂梁如图所示，若其底面和顶面温度分别升高 T1 和 T2 ，且 T1 T2 ，并沿截面高度线性变化。已知材料的线膨胀系数l ，试求自由端的挠度和轴向位移。,自由端挠度
13、：,自由端轴向位移：,同样，还可求自由端转角：,8.4 单位力法 图乘法,四、计算莫尔积分的图乘法,对等截面杆件,考察莫尔积分,对等截面直杆,8.4 单位力法 图乘法,四、计算莫尔积分的图乘法,等截面直杆，单位力引起的弯矩图为一段直线,图乘法,若外力引起的弯矩图为一段直线,图乘结果的符号,分段计算的情况,分解与叠加,8.4 单位力法 图乘法,四、计算莫尔积分的图乘法,几种常用图形的面积和形心位置,形心位置,三角形,二次抛物线,面积,n 次抛物线,例：图示悬臂梁 AB 的 EI 是常数，求 yC 。,B,A,l,解：加与欲求位移相应的单位力，分别作内力图,C,例：图示悬臂梁 AB 的 EI 是常
14、数，求 yC 。,B,A,l,C,例：图示悬臂梁 AB 的 EI 是常数，求 yC 。,解：加与欲求位移相应的单位力，分别作内力图,例：图示悬臂梁 AB 的 EI 是常数，求 yC 。,解：加与欲求位移相应的单位力，分别作内力图,8.5 超静定问题 力法正则方程,超静定结构撤去多余约束，代之以相应的约束力，从而得到的含多余未知力作用的静定系统，称为原超静定结构的静定基。以多余未知力作为基本未知量的求解方法称为力法。由撤去的多余约束处的变形协调条件得到规范化形式的关于基本未知量的方程(组)，称为力法正则方程。,原结构的内力：,由位移互等定理，正则方程的系数矩阵为对称方阵，称为结构的柔度矩阵。,原
15、结构的位移：,一、力法正则方程,8.5 超静定问题 力法正则方程,二次超静定结构：,一次超静定结构：,一、力法正则方程,例：图示刚架 的 EI 是常数，试求 支反力、作弯矩图，并求B 。,解：取静定基。,正则方程：,计算柔度系数和自由项，分别作静定基在原外载和与基本未知力相应的单位力作用下的弯矩图。,例：图示刚架 的 EI 是常数，试求 支反力、作弯矩图，并求B 。,解：取静定基。,正则方程：,计算柔度系数和自由项，分别作静定基在原外载和与基本未知力相应的单位力作用下的弯矩图。,例：图示刚架 的 EI 是常数，试求 支反力、作弯矩图，并求B 。,联立求解方程组，得：,例：图示刚架 的 EI 是
16、常数，试求 支反力、作弯矩图，并求B 。,例：图示刚架 的 EI 是常数，试求 支反力、作弯矩图，并求B 。,例：内力一次超静定桁架如图，设各杆 EA 相同，试求两种情况下的各杆轴力：,(1)在载荷 F 作用下。(2)结构上无载荷( F=0 ),但杆5 升温 ,材料线膨胀系数为 。,解：(1)取静定基，正则方程为：,例：内力一次超静定桁架如图，设各杆 EA 相同，试求两种情况下的各杆轴力：,(1)在载荷 F 作用下。(2)结构上无载荷( F=0 ),但杆5 升温 ,材料线膨胀系数为 。,解：(1)取静定基，正则方程为：,由,例：内力一次超静定桁架如图，设各杆 EA 相同，试求两种情况下的各杆轴力：,
