《习题 8.4 演示文稿4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《习题 8.4 演示文稿4（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.4 一元线形回归,1。假设回归直线经过原点，即一元线形回归模型为,诸观测值相互独立。 （1）写出 的最小二乘估计，并给出 的无偏估计。 （2）对给定的 ，其对应的因变量均值的估计为 。求 。,解 （1） 由最小二乘法原理，另,则正规方程为,从中解得 的最小乘法估计为 不难看出,于是，由 有,将 写成 的线性组合，利用 与 的独立 性，有,由此即有 ，从而,这给出 的无偏估计为,（2） 对给定的 ，对应的因变量均值的估计为 于是,（忽略常数项），,将其分别对 求导并令导函数为，得到如下似然的方程组：,经过整理可以解出,可以看出 的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的，而 的最大似然估计（记为
2、 ），并不等于常用的无偏估计，事实上，由定理.知道，,所以 ，它不等于 ，因此， 不是 的无偏估计,在回归分析计算中，常对数据进行变换：,其中 是适当选取的常数 （）试建立由原始数据和变换后的数据得到的最小二乘估计，总平方和，回归平方和以及残差平方和之间的关系； （）证明：由原始数据和变换后数据得到的检验统计量的值保持不变,解 （）经变换后，各平方和的表达式如下：,所以由原始数据和变化换后的数据得到的最小二乘估计之间的关系为,在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出 ，然后再根据此给出 它们的关系为,总平方和，回归平方和以及残差平方和分别为,（）由（）的结果我们知道 即说明了原始数据和变换后
3、 的数据得到检验统计量的值保持不变,对给定的n组数据 ，若我们关心的是y如何依赖x的取值而变动的，则可以建立如下回归方程 反之，若奥妙关心的是如何依赖的取值而变动的，则可以建立另外的一个回归方程 试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，他们有无交点？若有，试给出交点的坐标,解 一般不重合，因为回归方程 ，可以化为 而 化为 当且仅当 ，时两条直线重合，我们知道 表示相关系数的绝对值为，即n组数据 在一条直线上，这在实际中极其常见，所以说“一般不重合” 不重合时，它们的交点为,为考察某种维呢纤维的耐水性能，安排了一组实验测得其甲醇浓度及相应的“缩醇化度”y数据如下：,（）作散点图
4、： （）求样本相关系数： （）建立一元线形回归方程： （）对建立的回归方程作显著性检验（ ）,解（）散点图如下.,（）由样本数据可以算得,因此样本相关系数 （）应用最小二乘法估计公式， 于是一元先行回归方程为,（）首先计算几个平方和 将各平方和 移入方差分析表，继续计算可以得到,若取 ，查表得 拒绝域为 现检验统计量值落入拒绝域，因此在显著性水平.下回归方程是显著的回归方程的显著性检验的p值为（用 语句表示）,测得一组弹簧形变x（单位：厘米）和相应的外力y（单位：牛顿）数据如下：,由胡克定理知 ，若假定 试估计 并在 处给出相应的外力y的.预测区间.,解，由本节的第一题可以给出k最小二乘估计为
5、,在第一题中已经给出 的值和方差分别为,与,所以,其中 ，又 ，且两者独立从而有 因此 的预测区间为 ，其中 此处，由样本数据可计算得到,从而,而 相应的外力的预测值为 当 时，查表得 故,因而得到 的预测区间为,来源 平方和 自由度 均方和 F比 回归 0. 08104 1 0.08104 55.8127 残差 0.04356 30 0.001452 总计 0.1246 31,序号 社会商品零售总额 营业税收总额 142.08 3.93 177.30 5.96 204.68 7.85 4 242.68 9.82 5 316.24 12.50 6 341.99 15.555 7 332.69 15.79 8 389.29 16.39 9 453.40 18.45,来源 平方和 自由度 均方和 F比 p值 回归 203.40 1 203.40 179.65 0.000 残差 7.93 7 1.13 总计 211.33 8,
