数字电子技术基础逻辑代数及其化简

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1、第2章 逻辑代数及其化简,2.1 计数制与编码 2.2 逻辑代数基础 2.3 逻辑函数常用的描述方法 2.4 逻辑函数的化简 2.5 具有无关项逻辑函数的化简 2.6 用Multisim 2001进行逻辑函数的化简与变换,作业,2-5 （2） 2-6 （2） 2-7 2-8 2-11 （5） 2-12 （4） 2-13（4） 2-14 （2） (5),2.1 计数制与编码,任何数通常都可以用两种不同的方法来表示：一种是按其“值”表示，另一种是按“形”表示。按“值”表示，即选定某种进位的计数制来表示某个数的值，这就是所谓的进位计数制，简称数制（Number System）。,按“形”表示，就是用

2、代码来表示某些数的“值”。 按“形”表示一个数时，先要确定编码规则，然后按此编码规则编出代码，并给代码赋以一定的含义，这就是所谓的编码。,2.1 计数制与编码,2.1.1 常用计数制及其转换 (自学）,2.1.2 编码,计算机等数字系统所处理的信息多为数值、文字、符号、图形、声音和图像等，它们都可以用多位二进制数来表示，这种多位二进制数叫做代码。 如果用一组代码并给每个代码赋以一定的含义则称编码（Encode）。,在数字电路中，常用二-十进制码，也叫做BCD（Binary-Coded Decimal）码。 所谓二-十进制码，就是用4位二进制数组成的代码来表示1位十进制数。 4位二进制数具有16

3、种组合，二-十进制数的10个数字符号只需选用其中的10种组合来表示常用的几种二-十进制编码表2-1所示。,2.1.2 编码,表2-1 常用的几种二-十制编码,有权码,无权码,2.2 逻辑代数基础,英国数学家乔治布尔（George Boole）于1847年在他的著作中首先对逻辑代数进行了系统的论述，故逻辑代数始称为布尔代数，因为逻辑代数用于研究二值变量的运算规律，所以也称为二值代数。,2.2.1逻辑代数的基本运算和复合运算,逻辑代数的基本运算包括与、或、非三种运算。 下面用三个指示灯的控制电路来分别说明三种基本逻辑运算的物理意义。 设开关A、B为逻辑变量，约定开关闭合为逻辑1、开关断开为逻辑0；

4、设灯为逻辑函数F，约定灯亮为逻辑1，灯灭为逻辑0。,1. 与运算,逻辑与（也叫逻辑乘）定义如下：“一个事件要发生需要多个条件，只有当所有的条件都具备之后，此事件才发生”。,A,B,F,？ 怎么表示与运算呢,1)真值表: 将逻辑变量所有可能取值的组合与其一一对应的逻辑函数值之间的关系以表格的形式表示出来，叫做逻辑函数的真值表。,与逻辑运算真值表,1. 与运算,2)逻辑表达式：表示逻辑与运算的逻辑函数表达式为FAB，式中“”为与运算符号，有时也可以省略。与运算的规则为：000，010，100，11=1。与运算可以推广到多个逻辑变量，即FABC。,1. 与运算,3)逻辑符号（电路图）：在数字电路中，

5、实现逻辑与运算的单元电路叫与门，与门的逻辑符号如图所示。,1. 与运算,本教材采用的符号,2. 或运算,在决定一事件发生的多个条件中，只要有一个条件满足，此事件就会发生。,A,B,F,逻辑或运算的真值表,或运算逻辑函数表达式为FAB，式中“”为或运算符号。 或运算的规则为：0+00，0+11，1+01，1+1=1。 逻辑或运算也可推广到多个逻辑变量，即 F=A+B+C+。,2. 或运算,2. 或运算,实现逻辑或运算的单元电路叫或门，或门的逻辑符号如图所示。,3. 非运算,当条件不具备时，事件才会发生。,Y,A,R,逻辑非运算的真值表,3. 非运算,非运算的逻辑表达式为 ，式中A上的“”为非运算

6、符号，EDA中表示为 。 非运算的规则为： 实现非运算的单元电路叫非门(或反相器），非门的逻辑符号如图所示。,4. 几种常用的逻辑运算,由与、或、非三种基本逻辑运算可以组合成多种常用的复合逻辑运算。 1)与非运算,4. 几种常用的逻辑运算,2）或非运算,4. 几种常用的逻辑运算,3）与或非运算,4）异或逻辑运算对于两变量的异或运算，当输入相异时输出为1，输入相同时输出为0。,5）同或逻辑运算对于两变量的同或运算，当输入相同时输出为1，输入相异时输出为0。,2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式,1. 基本公式,01定律：,重叠律：,2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式,2.2.2逻辑代数的基

7、本公式和常用公式,同理可证明：,2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式,2.常用公式,2.常用公式,2.常用公式,*异或公式(补充),2.2.3 逻辑代数的基本规则,1. 代入规则对任意逻辑等式，如果将式中的某一变量用其他变量或逻辑函数替换，则此等式仍然成立。例如,等式 ，若函数FBC去置换等式中地变量B，则等式左边，而等式右边，显然，等式仍然成立。,2. 反演规则,对于一个逻辑函数式F,若将其中所有的,则得到的结果就是F的反函数。,注意：优先顺序不能变，帽子以上不能变。,3. 对偶规则, F F,对于一个逻辑函数式F,若将其中的,则得到的结果就是F的对偶式。,若两逻辑式相等,则它们的对偶式也

8、相等。,2.3 逻辑函数常用的描述方法及相互间的转换,2.3.1 逻辑函数常用的描述方法 逻辑函数常用的描述方法有逻辑表达式真值表逻辑电路图卡诺图。,1.逻辑表达式,由逻辑变量和逻辑运算符号组成，用于表示变量之间逻辑关系的式子，称为逻辑表达式。常用的逻辑表达式有与或表达式、标准与或表达式、或与表达式、标准或与表达式、与非与非表达式、或非或非表达式、与或非表达式等。,与或表达式： 标准与或表达式： 或与表达式： 标准或与表达式: 与非与非表达式: 或非或非表达式: 与或非表达式：,2.真值表,用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格，称为真值表。例如，对于三变量的判断奇数的电路中，当A、B、C

9、三个变量中有奇数个1时，输出F为1；否则，输出F为0。,表2-12 三变量判断奇数电路的真值表,3.逻辑图,由逻辑门电路符号构成的，用来表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。,4. 卡诺图,将逻辑变量分成两组，分别在横竖两个方向排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有个方格的图形，其中，每一个方格对应变量的一个取值组合，这种图形叫做卡诺图。,2.3.2不同描述方法之间的转换,1.表达式真值表由表达式列函数的真值表时，一般首先按自然二进制码的顺序列出函数所含逻辑变量的所有不同取值组合，再确定其对应的函数值。,例2-1 列出逻辑函数 的真值表,解：逐个将变量A、B、C的各个取值组合

10、代入逻辑函数中，求出相应的函数值。 ABC取000时，F为0；ABC取001时，F为1； ；ABC取110时，F为1；ABC取111时，F为0。 按自然二进制码的顺序列出变量A、B、C的所有不同取值组合，再根据以上的分析结果，,表2-13 逻辑函数 的真值表, 找出输出 “1”的组合, 用“与”写出使输出为1的组合。, 将所有已写出的组合进行“或”,真值表,2.真值表表达式,3. 表达式逻辑图,2.3.3逻辑函数的建立及其描述方法,为了解决某个实际问题，必须研究其因变量及其相互之间的逻辑关系，从而得出相应的逻辑函数。 一般来说，首先应根据提出的实际逻辑命题，确定输入逻辑变量、输出逻辑变量。 研

11、究它们之间的因果关系，列出其真值表。 再根据真值表写逻辑函数表达式。,例2-13：有一水塔，用一大一小的两台电动机MS和ML分别驱动两个水泵向水塔注水，当水塔的水位降到C点时，小电动机MS单独驱动小水泵注水，当水位降到B点时，大电动机ML单独驱动大水泵注水，当水位降到A点时由两台电动机同时驱动水泵注水。试设计一个控制电动机工作的逻辑电路。,解 1）设水位C、B、A为输入变量，当水位降到C、B、A的某点时，取值为逻辑“1”，否则取值为逻辑“0”；电动机MS和ML为输出变量，工作时取值为 “1”，不工作时为 “0”。2) 分析逻辑变量之间的因果关系，列出此逻辑函数的真值表。,3）根据真值表可写出逻

12、辑函数表达式。,4) 根据逻辑函数表达式画出逻辑电路图。,2.4 逻辑函数的化简 2.4.1逻辑函数的最简形式,同一逻辑函数可以采用不同的逻辑电路图来实现，而这些逻辑电路图所采用的器件的种类或数量可能会有所不同，因此化简逻辑函数可以简化电路、节省器材、降低成本、提高系统的可靠性。因此，化简逻辑函数对工程设计来说具有重要意义 。 逻辑函数的最简表达式有很多种，常用的有最简与或式和最简或与式。,与或式F1=AB+BC与或式的最简标准是：含的与项个数最少；各与项中含的变量个数最少。 或与式F2=(A+B)(B+C)或与式的最简标准是：含的或项个数最少；各或项中含的变量个数最少。常用的化简方法有公式法

13、和卡诺图法两种。,2.4.2逻辑函数的公式化简,公式化简法就是反复运用逻辑代数的基本公式和常用公式，得到最简形式。,1. 并项法,利用结合律 ，将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。 例如,2.吸收法,利用吸收律A+AB=A，吸收多余的与项。 例如：,3.消因子法,利用 吸收律消去某些与项中的变量。例如 ：,4.消项法,利用吸收律 ，将某些与项消去。例如：,5.配项法,利用 等基本公式给某些逻辑函数配上适当的项，进而可消去原函数中的某些项或变量。 例如,实际上，在化简一个较复杂的逻辑函数时，总是根据逻辑函数的不同构成，综合应用上述几种方法。 例如,例题,不同形式表达式之间的变换:,利用基本

14、公式对逻辑函数作形式上的变换，以便选用适合的器件来实现其逻辑功能。如将与或式变换成与非与非表达式，以便用与非门来实现。 例如,不同形式表达式之间的变换:,将或与式变换成或非或非表达式，以便用或非门来实现。 例如,2.4.3逻辑函数的卡诺图化简,用公式法简化逻辑函数时，一方面，不仅要熟记逻辑代数的基本公式，而且还需要有熟练的运算技巧；另一方面，经过化简后的逻辑函数是否是最简或最佳时有时也难以确定。与之相比，应用卡诺图化简逻辑函数，则简捷直观、灵活方便、且容易确定是否已得到最简结果。但是，当逻辑函数的变量数n6以后，由卡诺图中小方格的相邻性已很难确定，使用就不很方便了。,1. 标准与或表达式 最小

15、项,（1）定义标准与或表达式是一种特殊的与或表达式，其中的每个与项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量出现一次且仅出现一次，这样的与项称为标准与项，又称最小项。,如 F=F(A, B)，共有最小项4项：,（2） 最小项编号,（3）最小项的主要性质,每个最小项都与变量的惟一的一个取值组合相对应，只有该取值组合使这个最小项取值为1，其余任何组合均使该最小项为0。 所有最小项相或，结果为1。 任意两个不同的最小项相与，结果为0,例2-4写出函数 的标准与或表达式。,（4）标准或与表达式,标准或与表达式是一种特殊的或与表达式，其中的每个或项都包含了所有的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量出现一次且仅出现一次。这样的或项称为标准或项，又称最大项。 例如：A、B、C的最大项 对应的变量取值组合为010，其大小为2，因而，记为M2。 如果一个或项缺少某变量，则或上该变量和其反变量的逻辑与，直至每一个或项都为最大项为止。,