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1、 1高中解析几何专题（精编版）高中解析几何专题（精编版）1. （天津文）设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2。点22221(0)xyabab满足( , )P a b212| |.PFF F（）求椭圆的离心率 ；e（）设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2与圆相交于 M，N 两点，且，求椭圆22(1)(3)16xy5|8MNAB的方程。 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的 距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查 用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能 力与运算能力，满分 13 分。（）解：设，
2、因为，12(,0),( ,0)(0)FcF cc212| |PFF F所以，整理得（舍）22()2acbc2 210,1ccc aaa 得或11,.22cea所以（）解：由（）知，可得椭圆方程为，2 ,3ac bc2223412xyc直线 FF2的方程为3().yxcA，B 两点的坐标满足方程组2223412,3().xycyxc消去并整理，得y。解得，得方程组的解2580xcx1280,5xxc2 11 28,0,53 ,3 3.5xcxycyc 不妨设，83 3,55Acc (0,3 )Bc所以2283 316|3.555ABcccc于是5|2 .8MNABc圆心到直线 PF2的距离1,
3、3|333 |3 | 2|. 22ccd因为，所以2 22|42MNd223(2)16.4cc整理得，得（舍） ，或2712520cc26 7c 2.c 2所以椭圆方程为22 1.1612xy2. 已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0） ，斜2222:1(0)xyGabab6 32 2率为 I 的直线 与椭圆 G 交与 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点l 为 P（-3,2）. （I）求椭圆G的方程； （II）求的面积.PAB 【解析】解：（）由已知得62 2,.3cca解得2 3.a 又2224.bac所以椭圆 G 的方程为22 1.124xy（）设直线l的方程为.mxy由得 1
4、41222yxmxy. 01236422mmxx设 A、B 的坐标分别为AB 中点为 E，),)(,(),(212211xxyxyx),(00yx则,43 221 0mxxx400mmxy因为 AB 是等腰PAB 的底边， 所以 PEAB.所以 PE 的斜率. 143342 mmk解得 m=2。 此时方程为. 01242xx解得. 0, 321xx所以. 2, 121yy所以|AB|=.23 此时，点 P（3，2）到直线 AB：的距离02 yx,2232|223|d所以PAB 的面积 S=.29|21dAB33. (全国大纲文)已知 O 为坐标原点，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的2 2:12y
5、C x 焦点，过 F 且斜率为的直线 与 C 交与 A、B 两点，点 P 满足- 2l 0.OAOBOP （）证明：点 P 在 C 上；（II）设点 P 关于 O 的对称点为 Q，证明： A、P、B、Q 四点在同一圆上。 【解析】22解：（I）F（0，1） ， 的方程为l ，21yx 代入并化简得2 212yx 2 分242 210.xx 设112233( ,), (,), (,),A x yB xyP xy则122626,44xx1212122,2()21,2xxyyxx 由题意得3123122(),()1.2xxxyyy 所以点 P 的坐标为2(, 1).2经验证，点 P 的坐标为满足方程
6、2(, 1)2故点 P 在椭圆 C 上。2 21,2yx （II）由和题设知， 2(, 1)2P 2(,1)2QPQ 的垂直一部分线 的方程为1l2.2yx 设 AB 的中点为 M，则，AB 的垂直平分线为的方程为2 1(, )42M2l21.24yx由、得的交点为12,l l2 1(, )88N 4222 2122222213 11|()( 1),28883 2|1 (2)|,2 3 2|,422113 3|()(),482883 11|,8NPABxxAMMNNAAMMN 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此
7、知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径的圆上。 4. （全国新文）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线与坐标轴的交点261yxx 都在圆 C 上 （I）求圆 C 的方程； （II）若圆 C 与直线交于 A，B 两点，且求 a 的值0xya,OAOB【解析】解：（）曲线与 y 轴的交点为（0，1），与 x 轴的交162xxy点为（).0 ,223(),0 ,223故可设 C 的圆心为（3，t），则有解得 t=1.,)22() 1(32222tt则圆 C 的半径为. 3) 1(322 t所以圆 C 的方程为. 9) 1() 3(22yx（）设 A（），B（），其坐标满足方程组：11,
8、 yx22, yx. 9) 1()3(, 022yxayx消去 y，得到方程. 012)82(222aaxax由已知可得，判别式. 0416562aa因此，从而,441656)28(22, 1aaax2120,422121aaxxaxx由于 OAOB，可得, 02121yyxx又所以,2211axyaxy. 0)(22 2121axxaxx由，得，满足故1a, 0. 1a 5. （辽宁文）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x5轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交 于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D（
9、I）设，求与的比值；1 2e BCAD（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由【解析】解：（I）因为 C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xyb yxCCababaa设直线，分别与 C1，C2的方程联立，求得:(| |)l xtta4 分2222( ,),( ,).abA tatB tatba当表示 A，B 的纵坐标，可知13,22ABebayy时分别用6 分222|3|:|.2|4BAybBCADya（II）t=0 时的l不符合题意.时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率kBO与 AN0t 的斜率kAN相等，即2222,baatat
10、ab tta 解得222221.abetaabe 因为2212| |,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当时，不存在直线l，使得 BO/AN；202e当时，存在直线l使得 BO/AN. 12 分212e6. （江西文）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物()ypx p 线于和两点，且,( ,)A x y(,)()B xyxxAB （1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值OCOBOAOC 【解析】19 （本小题满分 12 分）6（1）直线 AB 的方程是，2 2()2pyx与联立，从而有22ypx22450,xpxp所以：125 4pxx由抛物线定义得：12
11、|9,ABxxp所以 p=4，从而抛物线方程是28 .yx（2）由可简化为224,450pxpxp2 12540,1,4,xxxx从而122 2,4 2,yy 从而(1, 2 2),(4,4 2)AB设33(,)(1 2 2)(4,4 2)(41,4 22 2)OCxy又22 338,2 2(21)8(41),yx即即2(21)41解得0,2.或 7. （山东文）22 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2 2:13xCy如图所示，斜率为(0)k k且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E， 射线OE交椭圆C于点G，交直线3x 于点 ( 3,)Dm（）求
12、22mk的最小值；（）若2OGODOE，（i）求证：直线l过定点； （ii）试问点B，G能否关于x轴对称？ 若能，求出此时ABGA的外接圆方程；若不能， 请说明理由 【解析】22 （I）解：设直线 ，(0)lykxt k的方程为 由题意，0.t 由方程组得2 2,1,3ykxtxy ，222(31)6330kxktxt 由题意，0 所以2231.kt 设，1122( ,), (,)A x yB xy由韦达定理得所以1226,31ktxxk 1222.31tyyk7由于 E 为线段 AB 的中点，因此223,3131EEkttxykk此时所以 OE 所在直线方程为1.3E OE Eykxk 1,
13、3yxk 又由题设知 D（-3，m） ，令 x=-3，得，即 mk=1，1mk所以当且仅当 m=k=1 时上式等号成立，2222,mkmk此时 由得因此 当时，0 02,t 102mkt 且取最小值 2。22mk（II） （i）由（I）知 OD 所在直线的方程为1,3yxk 将其代入椭圆 C 的方程，并由0,k 解得，又， 2231(,) 3131kG kk 2231(,),( 3,)31 31ktEDkkk 由距离公式及得0t 2 222 2222 222 22 2223191|()(),313131191|( 3)( ),391|()(),313131kkOGkkkkODkkktttkOE
14、kkk 由2| |,OGODOEtk得因此，直线 的方程为l(1).yk x所以，直线( 1,0).l恒过定点（ii）由（i）得 2231(,) 3131kG kk 若 B，G 关于 x 轴对称，则 2231(,). 3131kB kk 代入22(1)3131,yk xkkk 整理得即，426710kk 解得（舍去）或21 6k 21,k 所以 k=1，此时关于 x 轴对称。313 1(,),(, )222 2BG又由（I）得所以 A（0，1） 。110,1,xy由于的外接圆的圆心在 x 轴上，可设的外接圆的圆心为ABGABG （d，0） ，因此223111(),242ddd 解得8故的外接圆的半径为，ABG2512rd 所以的外接圆方程为ABG2215().24xy8. （陕西文）17 （本小题满分 12 分）设椭圆 C: 过点（0，4
