高中数学函数完美归纳讲解

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1、1第一章第一章 函函 数数概念导入1、集合（子集，真子集、空集、补集、全集等表示和关系）2、映射（定义，一一映射）3、增函数、减函数4、轴对称5、单调性定 义 设 x 和 y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于 D 中的每个值 x，变量 y 按照一定的法则有一个确定的值 y 与之对应，称变量 y 为变量 x 的函数，记作 y=f(x).自变量 x、因变量 y映射角度函数定义： 定义在非空数集之间的映射称为函数要 点1、对应法则和定义域是函数的两个要素2、函数是一种关系3、函数两组元素一一对应的规则（这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个集合里的唯一元素；第一组中的每个元素在第二组

2、中只有唯一的对应量）21、复合函数：y 是 u 的函数，y（u） ，u 是 x 的函数，uf（x） ，y 通过中间变量 u 构成了 x 的 xuy，注意定义域。 ylgsinx2、反函数：xy, yx,性质：1、一一映射2、单调函数分 类：一次函数 y=kx+b二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0) 反比例函数 y=k/x (k 为常数且 k0)指数函数 y=ax(a0,a1)对数函数 ylogax（a0）幂函数 y=xa三角函数(正弦，余弦，正切，余切，正割，余割 ) 常用方法：待定系数法平移变换法数形结合法注：注意自定义（抽象）函数等学习应用，培养逻辑思维。3第第一一节

3、节 函数的一般化应用解析函数的一般化应用解析1-1-11-1-1 函数的值域函数的值域方法：1、巧用定理，整体变换。（1）函数的 最小值；3cos3sin2xxy（2）已知：，、,求范sin5sin2sin322R22coscosu围.2、借题发挥，分式转化双曲线。型求值域和画图的一般化应用。bcad, 0cdcxbaxy（1）作函数的图象1231 xxy（2）求函数的值域4235 xxy1-1-21-1-2 函数的奇偶性函数的奇偶性要 点判断函数的奇偶性前提是：函数的定义域必须关于原点对称。（1）若为偶函数函数为奇)()()()()()(xfyxfxfxfyxfxf（2）奇函数;0)0()(

4、fxy在原点处有意义（3）任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇)(xf函数和一个偶函数之和4即 上上2)()()(2)()()(xfxfxfxfxf例 题：（1）定义在上的函数可以表示成奇函数 g(x)与偶函数),()(xfh(x)之和，若，那么（ ）) 110lg()(xxfA、)21010lg()(,)(xxxhxxgB、) 110lg(21)(,) 110lg(21)(xxhxxgxxC、2) 110lg()(,2)(xxhxxgxD、2) 110lg()(,2)(xxhxxgx1-1-31-1-3 函数的单调性函数的单调性常见于证明类问题，单调性证明一定要用定义。定 义区

5、间 D 上任意两个值，21,xx若时有，称为 D 上增函数，21xx )()(21xfxf)(xf若时有，称为 D 上减函数。21xx )()(21xfxf)(xf性 质奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。证明办法：作差法：若 x10 单调递减若 x10 单调递减若 x10 单调递增讨讨 论论 复合函数的增减问题(x)为增函数，f(x)为增函数，y 为增函数(x)为增函数，f(x)为减函数，y 为减函数(x)为减函数，f(x)为增函数，y 为减函数)x(fy(x)为减函数，f(x)为减函数，y 为增函数（1） 设为奇函数，且在区间a,b (00 时，

6、开口方向向上，a0 时，函数在 x= -b/2a 处取得最小值 f(-b/2a)=4ac-b2/4，在x|x-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是x|x4ac-b2/4a。相反亦然。例题应用解析：1如图 13-28 所示，二次函数 y=x2-4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，则ABC 的面积为( ) A、6 B、4 C、3 D、1 2心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间 x(单位：分)之间满足函数关系： y=-0.1x2+2.6x+43(0x30)。y 值越大，表示接受能力越强。 (1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？

7、 x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第 10 分时，学生的接受能力是什么？ (3)第几分时，学生的接受能力最强？ 3某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润； 11(2)设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与x 的函数关系式(不必写出 x 的取值范围)； (3)商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到

8、8000 元，销售单价应定为多少？ 4某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价 （元）满足一次函数：（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润 与每件的销售价 间的函数关系式.（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？5如图，一边靠学校院墙，其它三边用 40 米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边米，面积为 平方米.（1）求： 与 之间的函数关系式，并求当米时， 的值；（2）设矩形的边米，如果满足关系式即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽.第三节 三角函数12知识点回顾角角的静态定义：具有公共点

9、的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角这五种。锐角：小于 90的角叫做锐角直角：等于 90的角叫做直角钝角：大于 90而小于 180的角叫做钝角平角：等于 180的角叫做平角周角：等于 360的角叫做周角角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。角的范围可扩大到实数 R。A=a+2k(kZ)角的度量弧度与角度在数学中，弧度和角度

10、是角的量度单位。定义：弧长等于圆半径的弧所对的圆心角为1 弧度。弧长公式：13弧度和角度变化公式)n(180r n)(L为角度弧长 （r=1）。1-3-11-3-1 三角函数的初等基本表示三角函数的初等基本表示正弦 余弦 正切 余切 正割 余割在平面直角坐标系 xOy 中，从点 O 引出一条射线 OP，设旋转角为 ，设 OP=r，P 点的坐标为（ x，y）有正弦函数 sin=y/r余弦函数 cos=x/r正切函数 tan=y/x余切函数 cot=x/y正割函数 sec=r/x余割函数 csc=r/y（斜边为 r，对边为 y，邻边为 x。 ）1-3-21-3-2 三角函数的数值符号及特殊值三角函

11、数的数值符号及特殊值函数名称第一象限第二象限第三象限第四象限正 弦+-余 弦+-+14特殊角的三角函数值例例 题题1. sin(-)的值是( )619A. B. - C. D. -21 21 23 23正 切+-+-余 切+-+-正 割+-1+余 割+-函数名称030456090正 弦02122 231余 弦123 22 21 0正 切03313-余 切-3133正 割133222-余 割-223321152. 若 sin cos0,则 在( )A.第一,二象限 B. 第一, 三象限 C. 第一, 四象限 D. 第二, 四象限5设 tan=,tan=,、 均为锐角，则 +2 的值是 ( )71

12、 31A. B. C. D. 4 43 45 43 4或2当 x(kZ)时，的值是 ( )2k xxxx cotcostansin A.恒正 B.恒负 C.非负 D.无法确定 6如果角满足条件 sin0,cos0,a1)性质：（2） 指数函数的值域为大于 0 的实数集合。（3） 函数图形都是下凹的。（4） a 大于 1，则指数函数单调递增； a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。（5） 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,永不相交。（6） 函数总是通过（ 0，1）点（8） 显然指数函数无界。 （9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。（10）当两个指数函数中的 a 互为倒数时，两个函数

13、关于y 轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。1-4-1-3 指数函数的应用比较大小1、同幂不同底2、同底不同幂方 法1、比（差）商法以以 y 轴为分界线分情况讨论轴为分界线分情况讨论282、函数单调性应用法3、中值法第五节 对数函数1-5-11-5-1 对数定义及性质对数定义及性质定义：一般地，如果 a（a 大于 0，且 a 不等于 1）的 b 次幂等于N，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作，其中 a 叫bNloga做对数的底数，N 叫做真数。底数 a 则要大于 0 且不为 1对数的运算性质当 a0 且 a1 时,M0,N0，那么：（1）NlogMlogMNlogaaa（2）Nlo

14、gMlogNMlogaaa（3）（nR）MnlogMlogan a（4）换底公式：(b0 且 b1）alogMlogMMlogbb a（5）ab balog1log29（6）MaMalog（7）NNaalog1log（8）MrMaarlog1log（9）MrsMas arloglog对数与指数之间的关系当 a0 且 a1 时,NlogxNaax对数函数的常用简略表达方式： （1）常用对数:bloglgb10（2）自然对数:bloglnbee=2.718281828. 通常情况下只取 e=2.71828 对数函数的定义。1-5-21-5-2 对数函数定义及性质对数函数定义及性质对数函数的一般形式

15、为 y=(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线 y=x 对称的两函数互为反函数） ，可表示为 x=ay。因此指数函数里对于 a 的规定（a0 且 a1） ，同样适用于对数函数。性质30定义域：（0，+）值域：实数集 R定点：函数图像恒过定点（ 1，0） 。单调性：a1 时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；00 时：I)II) a0 时原不等式的解集为a,02. a0 时，原不等式的解集为a,0如图（4）得，a0 令 f(x)=(3+t)x22tx+2t 考察二次函数 f(x)的图象知： 得 t0 0 得 0=f(x1+x2)/2),那么 f(x)为凹函数，或下凸函数。【定义】如果函数 f(x)满足对定义域上任意两个数 x1,x2 都有(f(x1)+f(x2)/2=f(x1+x2)/2),那么 f(x)为凸函数，或上凸函数。同样，如果不等式中等号只有 x1=x2 时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数