《第7讲_点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第7讲_点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 7 7 讲讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理定理 在椭圆在椭圆（0 0）中，若直线）中，若直线 与椭圆相交于与椭圆相交于 M、N 两点，点两点，点12222 by axabl是弦是弦 MN 的中点，弦的中点，弦 MN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为，则，则.),(00yxPlMNk2200 ab xykMN证明：设 M、N 两点的坐标分别为、，),(11yx),(22yx则有 )2(. 1) 1 (, 122 2 22 222 1 22 1by axby ax，得)2() 1 (. 022 22 1 22 22 1 byy axx.22
2、12121212 ab xxyy xxyy又.22,21211212 xy xy xxyy xxyykMN .22ab xykMN同理可证，在椭圆同理可证，在椭圆（0 0）中，若直线）中，若直线 与椭圆相交于与椭圆相交于 M、N 两点，点两点，点12222 ay bxabl是弦是弦 MN 的中点，弦的中点，弦 MN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为，则，则.),(00yxPlMNk2200 ba xykMN典题妙解典题妙解例例 1 设椭圆方程为设椭圆方程为，过点，过点的的142 2yx) 1 , 0(M直线直线 交椭圆于点交椭圆于点 A、B，O 为坐标原点，点为坐标原点，点 P 满足满足
3、l，点，点 N 的坐标为的坐标为.当当 绕点绕点1()2OPOAOB 21,21lM 旋转时，求：旋转时，求： （1）动点）动点 P 的轨迹方程；的轨迹方程；（2）的最大值和最小值的最大值和最小值.| NP解：（1）设动点 P 的坐标为.由平行四边形法则可知：点 P 是弦 AB 的中点 .),(yx2焦点在 y 上， 假设直线 的斜率存在. 1, 422bal由得：22ba xykAB. 41 xy xy整理，得：. 0422yyx当直线 的斜率不存在时，弦 AB 的中点 P 为坐标原点，也满足方程。l)0 , 0(O所求的轨迹方程为. 0422yyx（2）配方，得：. 141)21(1612
4、 2 yx.41 41x127)61( 341)21()21()21(|222222xxxyxNP当时，；当时，41x41|minNP61x.621|maxNP例例 2 在直角坐标系在直角坐标系中，经过点中，经过点且斜率为且斜率为的直线的直线 与椭圆与椭圆有两个不有两个不xOy)2, 0(kl1222 yx同的交点同的交点 P 和和 Q.（1）求）求的取值范围；的取值范围；k （2）设椭圆与）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴、轴正半轴的交点分别为轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数，是否存在常数，使得向量，使得向量xyk与与共线？如果存在，求共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由
5、的取值范围；如果不存在，请说明理由.OQOP ABk解：（1）直线 的方程为l. 2 kxy由得： . 12,222 yxkxy. 0224) 12(22kxxk直线 与椭圆有两个不同的交点，l1222 yx0.解之得：或.) 12(83222kkk22k223的取值范围是.k ,22 22,（2）在椭圆中，焦点在轴上，1222 yxx1,2ba).1 ,2(),1 , 0(),0 ,2(ABBA设弦 PQ 的中点为，则),(00yxM).,(100yxOM 由平行四边形法则可知：.2OMOQOP与共线，与共线.OQOP ABOMAB，从而1200yx.2200xy由得：，2200 ab xy
6、kPQ21 22 k.22k由（1）可知时，直线 与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数.22klk例例 3 已知椭圆已知椭圆（0 0）的左、右焦点分别为）的左、右焦点分别为、，离心率，离心率，右，右12222 by axab1F2F22e准线方程为准线方程为.2x() 求椭圆的标准方程；求椭圆的标准方程；() 过点过点的直线的直线 与该椭圆相交于与该椭圆相交于 M、N 两点，且两点，且，求直线，求直线 的方的方1Fl3262|22NFMFl程程. 解：（）根据题意，得.所求的椭圆方程为. . 2,222caxace 1, 1,2cba1222 yx（）椭圆的焦点为、. 设直线 被椭圆所截
7、的弦 MN 的中点为.)0 , 1(1F)0 , 1 (2Fl),(yxP由平行四边形法则知：.PFNFMF2222由得：.3262|22NFMF326|2PF.926) 1(22yx4若直线 的斜率不存在，则轴，这时点 P 与重合，lxl )0 , 1(1F，与题设相矛盾，故直线 的斜率存在.4|2|1222FFNFMFl由得： 22ab xykMN.21 1xy xy).(2122xxy代入，得.926)(21) 1(22xxx整理，得：.解之得：，或.0174592xx317x32x由可知，不合题意.，从而.317x32x31y. 11xyk所求的直线 方程为，或.l1 xy1xy例例
8、4 已知椭圆已知椭圆（0 0）的离心率为）的离心率为，过右焦点，过右焦点 F 的直线的直线 与与 C 相交相交1:2222 by axCab33l于于 A、B 两点两点. 当当 的斜率为的斜率为 1 时，坐标原点时，坐标原点 O 到到 的距离为的距离为.ll22（1）求）求的值；的值；ba,（2）C 上是否存在点上是否存在点 P，使得当，使得当 绕绕 F 转到某一位置时，有转到某一位置时，有成立？若存在，成立？若存在，lOBOAOP求出所有点求出所有点 P 的坐标与的坐标与 的方程；若不存在，说明理由的方程；若不存在，说明理由.l解：（1）椭圆的右焦点为，直线 的斜率为 1 时，则其方程为，即
9、)0 ,(cFlcxy. 原点 O 到 的距离：，.0cyxl22 222|00|ccd1c又，. 从而.， .33ace3a2b3a2b（2）椭圆的方程为. 设弦 AB 的中点为. 由可知，点 Q12322 yx),(yxQOBOAOP是线段 OP 的中点，点 P 的坐标为)2 ,2(yx123422 yx若直线 的斜率不存在，则轴，这时点 Q 与重合，点 P 不在椭圆上，lxl )0 , 1 (F)0 , 2(OP故直线 的斜率存在.l5由得：.22ab xykAB.32 1xy xy)(3222xxy由和解得：.42,43yx当时，点 P 的坐标为，直线 的方程为42,43yx21xyk
10、AB)22,23(l；022 yx当时，点 P 的坐标为，直线 的方程为42,43yx21xykAB)22,23(l.022 yx金指点睛金指点睛1. 已知椭圆已知椭圆，则以，则以为中点的弦的长度为（为中点的弦的长度为（ ）4222yx) 1 , 1 (A. B. C. D. 2332330 2632.（06 江西）椭圆江西）椭圆（0 0）的右焦点为）的右焦点为，过点，过点 F 的一动直线的一动直线 m 绕点绕点1:2222 by axQab)0 ,(cFF 转动，并且交椭圆于转动，并且交椭圆于 A、B 两点，两点，P 为线段为线段 AB 的中点的中点. （1）求点）求点 P 的轨迹的轨迹 H
11、 的方程；的方程； （2）略）略.3 （05 上海）上海） （1）求右焦点坐标是）求右焦点坐标是且过点且过点的椭圆的标准方程；的椭圆的标准方程；)0 , 2()2, 2(（2）已知椭圆）已知椭圆 C 的方程为的方程为（0 0）.设斜率为设斜率为的直线的直线 ，交椭圆，交椭圆 C 于于 A、B12222 by axabkl两点，两点，AB 的中点为的中点为 M. 证明：当直线证明：当直线 平行移动时，动点平行移动时，动点 M 在一条过原点的定直线上；在一条过原点的定直线上；l （3）略）略.4. (05 湖北湖北)设设 A、B 是椭圆是椭圆上的两点，点上的两点，点是线段是线段 AB 的中点，线段
12、的中点，线段 AB 的垂直的垂直223yx)3 , 1 (N平分线与椭圆相交于平分线与椭圆相交于 C、D 两点两点.（1）确定）确定的取值范围，并求直线的取值范围，并求直线 AB 的方程；的方程；6（2）略）略.5. 椭圆椭圆 C 的中心在原点，并以双曲线的中心在原点，并以双曲线的焦点为焦点，以抛物线的焦点为焦点，以抛物线的准线的准线12422 xyyx662为其中一条准线为其中一条准线. （1）求椭圆）求椭圆 C 的方程；的方程；（2）设直线）设直线与椭圆与椭圆 C 相交于相交于 A、B 两点，使两点，使 A、B 两点关于直线两点关于直线)0(2:kkxyl对称，求对称，求的值的值.)0(
13、1:mmxylk参考答案参考答案1. 解：由得，.4222yx12422 yx2, 422ba弦 MN 的中点，由得，直线 MN 的方程为.) 1 , 1 (22ab xykMN21MNk) 1(211xy即. 32 yx.21k由得：. 324222yxyx051262yy设，则.),(),(2211yxNyxM65, 22121yyyy330)3104(54)()11 (|212 212yyyykMN故答案选 C.2. 解：（1）设点 P 的坐标为，由得：，),(yx22ab xykAB22ab xy cxy整理，得：.022222cxbyaxb点 P 的轨迹 H 的方程为.022222c
14、xbyaxb3解：（1）右焦点坐标是，左焦点坐标是. .)0 , 2()0 , 2(2c由椭圆的第一定义知，24)2()22()2()22(22222a7.22a.4222cab所求椭圆的标准方程为.14822 yx（2）设点 M 的坐标为，由得：，整理得：.),(yx22ab xykAB22ab xyk022kyaxba、b、k 为定值，当直线 平行移动时，动点 M 在一条过原点的定直线上.l022kyaxb4. 解：（1）点在椭圆内，即12.)3 , 1 (N223yx22313的取值范围是.),12(由得，焦点在 y 轴上.223yx1322 xy3,22ba若直线 AB 的斜率不存在，则直线 AB轴，根据椭圆的对称性，线段 AB 的中点 N 在 x 轴上，x 不合题意，故直线 AB 的斜率存在.由得：，.22ba xykAB313 ABk1ABk所求直线 AB 的
