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1、1立体几何垂直的证明立体几何垂直的证明类型一:线线垂直证明(共面垂直、异面垂直)类型一:线线垂直证明(共面垂直、异面垂直)(1 1)共面垂直)共面垂直:掌握几种模型等腰(等边)三角形中的中线 菱形(正方形)的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 直角梯形利用相似或全等证明直角。【例 1】在正方体中,O 为底面 ABCD 的中心,1111ABCDABC DE 为中点,求证:1CC(1) 1AOOE(2) 1AOBDE 平面(2 2)异面垂直)异面垂直(利用线面垂直来证明) 【例 2】在正四面体 ABCD 中, 求证:ACBD【变式 1】如图,在四棱锥中,底面是矩形,已知ABCDP ABCD60,2
2、2, 2, 2, 3PABPDPAADAB证明:;ADPB2【变式 2】如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将AED,DCF 分别沿,DE DF折起,使,A C两点重合于A.求证:ADEF;【变式 3】如图,在三棱锥中,是等边三角形,PAC=PBC=90 。PABCPAB证明:ABPC类型二:直线与平面垂直证明类型二:直线与平面垂直证明 方法方法利用线面垂直的判断定理利用线面垂直的判断定理 1 1【例 3】在正方体中,,求证:1111ABCDABC D11ACBDC 平面【变式 1】如图:直三棱柱 ABCA1B1C1中, AC=BC=AA1=2,ACB=90
3、.E 为BB1的中点,D 点在 AB 上且 DE=.3求证:CD平面 A1ABB1;BEADFG3PCBAD E【变式 2】如图,在四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,2 ,2.CACBCDBDABAD求证:平面 BCD;AO 【变式 3】如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,PABCDADBC90ABC平面,PA ABCD3PA 2AD 2 3AB 6BC 求证:平面 1BD PAC利用面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理2 2【例 4】在三棱锥 P-ABC 中,,,PAABC 底面PACPBC面面。BCPAC求证:面【变式 1】在四棱锥,底面 ABCD 是正方形,侧面
4、 PAB 是等腰三角形,且PABCD,求证:PABABCD面底面BCPAB 面4类型 3:面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)【例 5】如图,已知平面,平面,为等边三角形,AB ACDDE ACDACD,为的中点.2ADDEABFCD(1) 求证:平面;/AFBCE(2) 求证:平面平面;BCE CDE【例 6】如图,在四棱锥中,底面,PABCDPA ABCD,是的中点60ABADACCDABC,PAABBCEPC(1)证明; (2)证明平面;CDAEPD ABE【变式 1】已知直四棱柱 ABCDABCD的底面是菱形, 60ABC,E、F 分别是棱 CC与 BB上的点,且 EC=BC=2F
5、B=2 (1)求证:平面 AEF平面 AACC;ABCDEFABCDPE5类型三:平面与平面垂直证明类型三:平面与平面垂直证明 1.AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,M 是圆周上任意一点,ANPM,点 N 为垂足, 求证:平面 PAM平面 PBM2如图,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,CD=DA,E,F,分别为,和对 角线的中点。 求证:平面平面 .3.在直平行六面体AC1中,四边形ABCD是菱形,DAB60,ACBDO,ABAA1.(1)求证:C1O平面AB1D1;(2)求证:平面AB1D1平面ACC1A1.64. 如下图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,ADCD,ABCD,ABAD2,CD4,M为CE的中点(1)求证:BM平面ADEF;(2)求证:平面BDE平面BEC.