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1、1立体几何垂直的证明立体几何垂直的证明类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1 1）共面垂直）共面垂直：掌握几种模型等腰（等边）三角形中的中线 菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 直角梯形利用相似或全等证明直角。【例 1】在正方体中，O 为底面 ABCD 的中心，1111ABCDABC DE 为中点,求证：1CC(1) 1AOOE(2) 1AOBDE 平面（2 2）异面垂直）异面垂直（利用线面垂直来证明） 【例 2】在正四面体 ABCD 中， 求证：ACBD【变式 1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知ABCDP ABCD60,2
2、2, 2, 2, 3PABPDPAADAB证明：；ADPB2【变式 2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED,DCF 分别沿,DE DF折起，使,A C两点重合于A.求证:ADEF；【变式 3】如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 。PABCPAB证明：ABPC类型二：直线与平面垂直证明类型二：直线与平面垂直证明 方法方法利用线面垂直的判断定理利用线面垂直的判断定理 1 1【例 3】在正方体中，,求证：1111ABCDABC D11ACBDC 平面【变式 1】如图：直三棱柱 ABCA1B1C1中， AC=BC=AA1=2，ACB=90
3、.E 为BB1的中点，D 点在 AB 上且 DE=.3求证：CD平面 A1ABB1；BEADFG3PCBAD E【变式 2】如图，在四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2 ,2.CACBCDBDABAD求证：平面 BCD；AO 【变式 3】如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，PABCDADBC90ABC平面，PA ABCD3PA 2AD 2 3AB 6BC 求证：平面 1BD PAC利用面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理2 2【例 4】在三棱锥 P-ABC 中，,，PAABC 底面PACPBC面面。BCPAC求证：面【变式 1】在四棱锥，底面 ABCD 是正方形，侧面
4、 PAB 是等腰三角形，且PABCD,求证：PABABCD面底面BCPAB 面4类型 3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)【例 5】如图，已知平面，平面，为等边三角形，AB ACDDE ACDACD，为的中点.2ADDEABFCD(1) 求证：平面；/AFBCE(2) 求证：平面平面；BCE CDE【例 6】如图，在四棱锥中，底面，PABCDPA ABCD，是的中点60ABADACCDABC，PAABBCEPC（1）证明； （2）证明平面；CDAEPD ABE【变式 1】已知直四棱柱 ABCDABCD的底面是菱形， 60ABC，E、F 分别是棱 CC与 BB上的点，且 EC=BC=2F
5、B=2 （1）求证：平面 AEF平面 AACC；ABCDEFABCDPE5类型三：平面与平面垂直证明类型三：平面与平面垂直证明 1.AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，ANPM，点 N 为垂足， 求证：平面 PAM平面 PBM2如图，在空间四边形 ABCD 中，AB=BC，CD=DA，E，F，分别为，和对 角线的中点。 求证：平面平面 .3.在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，DAB60，ACBDO，ABAA1.(1)求证：C1O平面AB1D1；(2)求证：平面AB1D1平面ACC1A1.64. 如下图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：平面BDE平面BEC.
