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1、第四章 图形的认识 4.5 特殊的平行四边形,中考数学 (河南专用),A组 2014-2018年河南中考题组,五年中考,1.(2017河南,7,3分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件 判定 ABCD是菱形的只有 ( )A.ACBD B.AB=BC C.AC=BD D.1=2,答案 C 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得选项A中条件可判定ABCD是菱 形;根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得选项B中条件可判定ABCD是菱形;对角线 相等的平行四边形为矩形,故选项C错误;因为CDAB,所以2=DCA,再由1=2,可得1 =DCA,所以AD=CD,由一组邻边相等的
2、平行四边形是菱形,得ABCD是菱形,D中条件可判 定ABCD是菱形.故选C.,2.(2016河南,15,3分)如图,已知ADBC,ABBC,AB=3.点E为射线BC上一个动点,连接AE,将 ABE沿AE折叠,点B落在点B处,过点B作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B为线段MN的 三等分点时,BE的长为 .,答案 或,解析 ADBC,ABBC,MNAD, 四边形ABNM为矩形,MN=AB=3, B为线段MN的三等分点,BM=1或2, ABE=ABC=90,ABM+EBN=90. EBN+BEN=90,ABM=BEN. 又AMB=ENB=90,AMBBNE, = , 设BE=BE=x.
3、 当BM=1时,BN=2,在RtAMB中,AM= = =2 ,所以 = ,即x= ; 当BM=2时,BN=1,在RtAMB中,AM= = = ,所以 = ,即x= . 综上所述,BE的长为 或 .,思路分析 根据AMB=ENB=ABE=90及其他角的关系,判定AMBBNE,设BE= BE=x,用勾股定理求AM的长,然后利用相似的性质求BE的长.,评析 本题考查轴对称,矩形的判定和性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,题目 的计算量略大,属中档题.,3.(2015河南,15,3分)如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与 点B,C重合的一个动点,把E
4、BF沿EF折叠,点B落在B处.若CDB恰为等腰三角形,则DB的长 为 .,答案 16或4,解析 分三种情况讨论:(1)若DB=DC,则DB=16(易知此时点F在BC上且不与点C、B重合). (2)当CB=CD时,连接BB,EB=EB,CB=CB,点E、C在BB的垂直平分线上,EC垂直平分BB, 由折叠可知点F与点C重合,不符合题意,舍去. (3)如图,当CB=DB时,作BGAB于点G,延长GB交CD于点H. ABCD,BHCD.则四边形AGHD为矩形,AG=DH. CB=DB,DH= CD=8,AG=DH=8,GE=AG-AE=5.又易知EB=13,在RtBEG中,由勾股定理得BG=12,BH
5、=GH-BG=4.在RtBDH中,由勾股定理得DB= 4 (易知此时点F在BC上且不与点C、B重合). 综上所述,DB=16或4 .,思路分析 分DB=DC、CB=CD和CB=DB三种情况讨论.,4.(2014河南,15,3分)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把ADE沿AE折叠, 当点D的对应点D落在ABC的平分线上时,DE的长为 .,答案 或,解析 如图,连接BD,过点D作PQAB,交AB于点Q,交CD于点P. 点D在ABC的平分线上,四边形ABCD为矩形,ABD= ABC=45,BQ=QD,设BQ =x,由折叠得,AD=AD=5,DE=DE,ADE=90,易
6、得EDPDAQ, = ,在RtAQD 中,AD2=AQ2+QD2,即52=(7-x)2+x2,x1=3,x2=4. 当DQ=3时, = ,即 = ,解得DE= ,即DE= .当DQ=4时, = ,即 = , 解得DE= ,即DE= .DE的长为 或 .,思路分析 连接BD,过点D作AB的垂线PQ,构造相似三角形,运用相似的性质和勾股定理求 DE的长.,考点一 矩形,B组 2014-2018年全国中考题组,1.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交 AD,BC于E,F两点.若AC=2 ,AEO=120,则FC的长度为 ( )A.1 B
7、.2 C. D.,答案 A 四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC= AC= . ADBC,OFC=AEO=120, BFO=60. EFBD,BOF=90, OBF=OCB=30, COF=BFO-OCB=30, OF=FC. OF=OBtan 30=1, FC=1, 故选A.,2.(2016天津,10,3分)如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B,AB与DC 相交于点E,则下列结论一定正确的是 ( )A.DAB=CAB B.ACD=BCD C.AD=AE D.AE=CE,答案 D 由折叠知,EAC=BAC,ABCD,ECA=BAC,EAC=ECA,AE= CE.故
8、选D.,3.(2018江西,10,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AE- FG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为 .,答案 3,解析 根据旋转的性质,得BC=EF,AB=AE,又四边形ABCD为矩形,DE=EF,AD=DE=3,D=90, 即ADE为等腰直角三角形, 根据勾股定理得AE= =3 ,所以AB=AE=3 .,解题关键 熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键.,4.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大 于 AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交C
9、D于点E.若DE=2,CE=3,则矩形 的对角线AC的长为 .,答案,解析 如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3. 在RtADE中,AD= = = . 在RtADC中,AC= = = .,思路分析 连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计 算出AD,再计算出AC,得解.,解题关键 本题考查了矩形的性质,基本作图(作已知线段的垂直平分线),勾股定理,识别基本 作图并熟练应用勾股定理计算是解题的关键.,5.(2014湖北黄冈,15,3分)如图,在一张长为8 cm,宽为6 cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要
10、求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩 形的边上).则剪下的等腰三角形的面积为 cm2.,答案 或5 或10,解析 不妨设重合的顶点为点A,则有以下三种情况:,图(1),图(2),图(3),如图(1),AE=AF=5,所以所求面积为 55= . 如图(2),AE=EF=5,RtBEF中,可求出BE=1,根据勾股定理可得BF= =2 ,所以所 求面积为 AEBF= 52 =5 . 如图(3),AE=EF=5,RtDEF中,可求出DE=3,根据勾股定理可得DF= =4,所以所求 面积为 AEDF= 54=10. 综上所述,剪下的等腰三角形的面积为 cm2或5 cm2或10
11、 cm2.,6.(2017北京,20,3分)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上 任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他 从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证.(以上材料来源于古证复原的原则吴文俊与中国数学和古代世界数学泰斗刘徽) 请根据上图完成这个推论的证明过程. 证明:S矩形NFGD=SADC-(SANF+SFGC), S矩形EBMF=SABC-( + ). 易知,SADC=SABC, = , = . 可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.,解析 SAEF;SFMC;SANF;SAEF;SFGC;S
12、FMC.,7.(2015吉林长春,22,9分)在矩形ABCD中,已知ADAB.在边AD上取点E,使AE=AB,连接CE.过点 E作EFCE,与边AB或其延长线交于点F. 猜想:如图,当点F在边AB上时,线段AF与DE的大小关系为 . 探究:如图,当点F在边AB的延长线上时,EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系, 并加以证明. 应用:如图,若AB=2,AD=5,利用探究得到的结论,求线段BG的长.,解析 猜想:AF=DE. (2分) 探究:AF=DE. 证明:EFCE,CEF=90. 1+2=90. 四边形ABCD为矩形, A=D=90,AB=CD.2+3=90. 1=3. AE=
13、AB,AE=DC.,AEFDCE. AF=DE. (6分) 应用:AF=DE=AD-AE=5-2=3,BF=AF-AB=3-2=1. 在矩形ABCD中,ADBC, FBGFAE. = ,即 = . BG= . (9分),1.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点, 连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是 ( )A.AB= EF B.AB= EF C.AB=2EF D.AB= EF,考点二 菱形,答案 D 如图,连接AC、BD交于O,四边形ABCD是菱形, ACBD,OA=OC,OB=OD, 点E、F、G、H
14、分别是边AB、BC、CD和DA的中点, EF= AC,EH= BD, EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA, AB= = OA, 易知OA=EF,AB= EF,故选D.,思路分析 首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理 得出EF= AC,EH= BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB= OA,即得AB= EF.,2.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直. 已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O. 求证:ACBD. 以下是排乱的证明过程: 又BO=DO, AOBD,即ACBD. 四边形ABCD是菱形, AB=AD.证明步骤正确的顺序是 ( ),A. B. C. D.,答案 B 证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD, 又BO=DO,AOBD,即ACBD. 所以证明步骤正确的顺序是,故选B.,3.(2016宁夏,5,3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接 EF.若EF= ,BD=2,则菱形ABCD的面积为 ( )A.2 B.4 C.6 D.8,答案 A 因为E,F分别是AD,CD边上的中点,所以EFAC,且EF= AC,所以AC=2EF=2 .所 以S菱形ABCD= ACBD= 2 2=2 .故选A.,
