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1、第24章圆知识体系复习,本章知识结构图,圆的基本性质,圆,圆的对称性,弧、弦圆心角之间的关系,同弧上的圆周角与圆心角的关系,与圆有关的位置关系,正多边形和圆,有关圆的计算,点和圆的位置关系,切线,直线和圆的位置关系,三角形的外接圆,三角形内切圆,等分圆,圆和圆的位置关系,弧长,扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积,第1部分 圆的基本性质,第2部分 与圆有关的位置关系,本章重点内容,第3部分 正多边形和圆,第4部分 弧长和面积的计算,第5部分 有关作图,一.圆的基本概念:,1.圆的定义:到 的距离等于 的点的集合叫做圆.,2.有关概念:,(1)弦、直径(圆中最长的弦),(2)弧、优弧、劣弧、等弧（能
2、完全重合的弧，只能在同圆或等圆中出现）,(3)弦心距,定点,定长,二. 圆的基本性质,1.圆的对称性:,(1)圆是 图形, 都是它的对称轴.圆有 条对称轴.,(2)圆是 图形,并且绕圆心旋转 都能与自身重合。,经过圆心的每一条直线,无数,中心对称,任何角度,轴对称,2.垂径定理:,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,CD是圆O的直径,CDAB,AP=BP,垂径定理的推论：,判断：平分弦的直径垂直于弦（ ）,平分弦（非直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,1、如图,已知O的半径OA长为5,弦AB的长8,OCAB于C,则OC的长为 _.,3,AC=BC,垂径定理的应用,方
3、法：在 O中，若 O的半径r、 圆心距d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据 定理构造直角三角形求出第三个量。,垂径,2：如图，圆O的弦AB8 ， 直径CEAB于D， DC2，求半径OC的长。,垂径定理的应用,方法： 在应用垂径定理进行计算时（多数在求半径时）经常需要列方程。,3、如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。把圆心到弦的垂线段、半径、一半弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,方法、技巧,3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:,(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么
4、它所对的弧相等,所对的弦相等.,(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.,(3)在同圆或等圆中,如果弦相等,那么它所对的劣弧与优弧分别相等,所对的圆心角相等., COD =AOB,AB=CD,4.圆周角:,定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.,性质 (1)：在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .,一半,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.,圆周角的性质(2),ADB与AEB 、ACB 是同弧所对的圆周角,ADB=AEB =ACB,性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于 。,性质4: 900的圆
5、周角所对的弦是圆的 .,AB是O的直径, ACB=900,圆周角的性质:,900(直角),直径.,D,3.6,作圆的直径找900的圆周角也是圆里常用的辅助线,技巧：,例2. 在O中，弦AB所对的圆心角AOB=100，则弦AB所对的圆周角为_.,500或1300,切记：,一条弦所对的圆心角只有一个，但所对的圆周角却有两类，是互补的。,(2)点在圆上,(3)点在圆外,(1)点在圆内,如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:,点在圆内,点在圆上,点在圆外,dr,dr,dr,三.与圆有关的位置关系:,2.直线和圆的位置关系:,(1) 相离:,(2) 相切:,(3) 相交:,一条
6、直线与一个圆没有公共点,叫做直线与这个圆相离.,一条直线与一个圆只有一个公共点,叫做直线与这个圆相切.,一条直线与一个圆有两个公共点,叫做直线与这个圆相交.,(1)当直线与圆相离时,(2)当直线与圆相切时 ;,(3)当直线与圆相交时.,直线与圆位置关系的识别:,d,r,设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:,dr,d =r,dr.,切线的识别方法,1.与圆只有一个公共点的直线。,2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。,3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,A,l,OA是半径,OA l,直线l是O的切线.,例1 AB在O的直径，点D在AB的延长线上,且BD=OB,
7、点C在O上,CAB=30 证明：CD是O的切线,只要连接OC，然后证明OCCD,方法：,条件：已经知道要证的直线经过了圆上的一点。,例2.在RtABC中,B=90,A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作D. 证明:AC是D的切线.,F,技巧：,条件中不知道要证的切线是否经过了圆上的点。,切线的性质:,圆的切线垂直于 .,A,l, OA l,直线l是O的切线,切点为A,过切点的半径.,切线长定理：,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。,B,A,P,O,PA、PB为O的切线,PA=PB,APO= BPO,二、过三点的圆及外接圆,1.怎样的三点
8、确定一个圆？, 三点确定一个圆,2. 如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）？,不在同一直线上,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。,问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？,三角形的外接圆,三角形的外心就是三角形 的交点.外心到三角形 的距离相等。,三个顶点,三边垂直平分线,思考：三角形的外心一定在三角形内吗？,ABC是直角三角形,ABC是锐角三角形,ABC是钝角三角形,内,外,在斜边的中点处,锐角三角形的外心在三角形_， 直角三角形的外心在三角形_ _， 钝角三角形
9、的外心在三角形_。,三角形的外心位置：,三角形的内切圆:,三角形的内心就是三角形 的交点.内心到三角形 的距离相等。,三内角平分线,三边,等边三角形的外心与内心 .,重要结论,内切圆半径与外接圆半径的比是 。,O,D,1:2.,重合.,D,F,E,D,F,E,若 ABC各边分别切圆O于点D、E、F.,(2) DEF= 900- A,(3) S ABC= (a+b+c)r,重要结论,(1) D0F= 1800- A,在Rt ABC中, ACB=900,三边分别是a、b、c,内切圆半径是r,则:,内切圆半径r=,重要结论,求得r=,S ABC= (a+b+c)r= ab,a+b+c,或者由,常见的
10、基本图形及结论:,1.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,则:,AC=BD,若大圆的弦切小圆于C,则,O,AC=BC,两圆之间的环形面积,S= AB2,与圆有关的辅助线的作法：,辅助线， 莫乱添， 规律方法记心间；圆半径， 不起眼， 角的计算常要连，构成等腰解疑难；,切点和圆心， 连结要领先； 遇到直径想直角， 灵活应用才方便。,弦与弦心距， 亲密紧相连；,练习题：,1.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_. 2.O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切O于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,2
11、2cm,2cm,3.如图， O为ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，P是弧FDE上的一点，若A+ C=110度，则FPE=_度,C,4如图，已知ABC的三边长分别为AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm，O是ABC的内切圆，切点分别是E、F、G，则AE= ，BF= ，CG= 。,圆与圆的位置关系:,外离,外切,相交,内切,内含,dR+r,d=R+r,d=R-r,dR-r,R-rdR+r,三.正多边形:,2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径,.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角,4.边心
12、距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距,O,3 正多边形和圆,（1）.有关概念 （2）.常用的方法 （3）.正多边形的作图,E,F,C,D,.,边心距r,半径R,中心角,O,边,O,A,B,C,R,d,a,1.圆的周长和面积公式,2.弧长的计算公式,3.扇形的面积公式,或,四.圆中的有关计算:,周长C=2r,面积s=r2,4.圆锥的展开图:,底面,侧面,a,a,h,r,S侧 =r a,S全=r a+ r2,1、 如图,当半径为30cm的转动轮转过120时,传送带上的物体A平移的距离为_.,A,2.如图，把RtABC的斜边放在直线 上，按顺时针方向转动一次,使它转到 的位置。若BC
13、=1,A=300。求点A运动到A位置时，点A经过的路线长。,3.如图，在RtABC中，ACB=900。,(1)分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗?,(2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？,(3)若AB=5，BC=4，你能求出题(2)中几何体的表面积吗？,分析： 以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。,4.如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到A点，求蚂蚁爬行的最短路线长是多少？,B,O,P,B,A,D,C,3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B,过弧AB上任一点E作圆O的切线,交PA,PB于点C,D,则:,(1) PCD的周长=2PA,(2) COD= 900- APB,E,
