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1、第第 1 讲讲 绝对值和绝对值不等式的解法绝对值和绝对值不等式的解法5.1 绝对值的概念绝对值的概念定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值例如，到原点的距离等于，所以这一定义说明了绝对值的几何定义，从这一定义中很容易2222得到绝对值的求法：,00,0,0aaaaa a 5.1.1 绝对值的性质绝对值的性质【例例 1】到数轴原点的距离是 2 的点表示的数是（ ）A2 B2 C-2 D4解：A【例例 2】已知|x|=5，|y|=2，且 xy0，则 x-y 的值等于（ ）A7 或-7 B7 或 3 C3 或-3 D-7 或-3解：C【例例 3】已知：abc0，且 M=，当
2、 a，b，c 取不同值时，M 有 _种不同可能abc abc当 a、b、c 都是正数时，M= _；当 a、b、c 中有一个负数时，则 M= _；当 a、b、c 中有 2 个负数时，则 M= _；当 a、b、c 都是负数时，M=_ 解：3；1，13练习 1：已知是非零整数，且，求的值a b c，0abcabcabc abcabc解：由于，且是非零整数，则一正二负或一负二正，0abca b c，a b c，（1）当一正二负时，不妨设，原式；a b c，000abc，1 1 1 10 （2）当一负二正时，不妨设，原式a b c，000abc，1 1 1 10 原式0【例例 4】若，则42ab _ab
3、解：，所以424204,2ababab 2ab结论：绝对值具有非负性，即若，则必有，0abc0a 0b 0c 练习 1：， _；_2120aba b 解：1,2ab 练习 2：若，则732 2102mnp23_pnm解：由题意，所以713,22mnp 13237922pnmm 5.1.2 零点分段法去绝对值零点分段法去绝对值对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号【例例 5】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式 0000x xxxx x 时，可令和，分别求
4、得（称分别为与的零点值） ，12xx10x 20x 12xx ，1 2 ，1x 2x 在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下 种情况：1x 2x 3当时，原式1x 1221xxx 当时，原式12x 123xx 当时，原式2x1221xxx 综上讨论，原式 211312212xxxxx 通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出和的零点值2x 4x 解：令，解得，所以是的零点；令，解得，所以是20x 2x 2x 2x 40x 4x 4x 的零点4x （2）化简代数式24xx解：当时，原式；2x 2422xxx 当时，原式；24x 246xx当时，原式x4242
5、2xxx综上讨论，原式 222624224xxxxx （3）化简代数式122yxx解：当时，；1x 53yx当时，；12x3yx当时，2x 35yx综上讨论，原式 531312352x xxxxx 5.1.35.1.3 绝对值函数绝对值函数常见的绝对值函数是：，其图象是,0 ,0xxyxx x绝对值函数学习时，要抓关键点，这里的关键点是思考如何画的图象？0x yxa我们知道，表示轴上的点到原点的距离；的几何意义是表示轴上的点到点的距离xxxxaxxa【例例 6】 画出的图像1yx解：（1）关键点是，此点又称为界点；1x （2）接着是要去绝对值当时，；当时，1x 1yx 1x 1yx（3）图像如
6、右图说明：此题还可以考虑该图像可由 y=|x|的图象向右平移一个单位后得到练习1.（1）画出的图像； （2）画出的图像2yx2yx【例例 7 7】画出的图象122yxx解：（1）关键点是和1x 2x （2）去绝对值当时，；1x 53yx当时，；12x3yx当时，2x 35yx（3）图象如右图所示【例例 8】8】 画出函数的图像223yxx 解：（1）关键点是0x （2）去绝对值：当时，；0x 223yxx 当时，0x 223yxx （3）可作出图像如右图【例例 9】9】 画出函数的图像232yxx解：（1）关键点是和1x 2x （2）去绝对值：当或时，；1x 2x 232yxx当时，12x23
7、2yxx （3）可作出图像如右图1_；_；_；3 533.14152，则_2215xy4x y 3若，那么一定是（ ）0aaaA正数 B负数 C非正数 D非负数4若，那么是_数xxx5如图，化简_22abbcac6已知，则_2(2)210xy2xy7化简，并画出的图象12xx12yxx8化简 523xx9.画出的图像23yx10.画出的图像223yxx 答案：1； 2或 3C 4负 5-4 633 533.1415217，图象如下 8 9如图所示 10如图所示23,21, 2123,1xxyxxx 32,5 38, 52 332,2xxyxxxx 5.2 绝对值不等式绝对值不等式到了高中，绝对
8、值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式【例例 1】 解方程：21x解解：原方程变为，或21x 3x 1x 【例例 2】解不等式 1x 解：对应数轴上的一个点，由题意，到原点的距离小于 1，很容易知道到原点距离等于 1 的点有两个：xx和 ，自然只有在和 之间的点，到原点的距离才小于 1，所以的解集是1111x | 11xx 练习 1解不等式：（1）； （2） （3）3x 3x 2x 解：（1） （2） （3） | 33xx
9、|33x xx 或 | 22xx 结论：（1）的解集是，如图 1(0)xa a |xaxa （2）的解集是，如图 2(0)xa a |x xaxa 或【例例 3】解不等式 21x解：由题意，解得，所以原不等式的解集为121x 13x |13xx结论：（1）(0)axbc ccaxbc （2）或(0)axbc caxbcaxbc 练习 1：解不等式：（1）；（2）；（3）；103x252x325x解：（1）由题意，解得，所以原不等式的解集为3103x 713x |713xx（3）由题意，或，解得或， ，所以原不等式的解集为252x252x 7 2x 3 2x 73 |22x xx或（3）由题意，
10、解得，所以原不等式的解集为5325x 14x | 14xx 练习 2：解不等式组24051 32xx解：由，得，解得，240x424x 26x 由，得，即，解得，51 32x1 33x31 33x 42 33x由得，所以原不等式的解集为42 33x42 |33xx练习 3：解不等式1215x解：方法一：由，解得；由得，或，215x23x 121x0x 1x 联立得，所以原不等式的解集为2013xx 或 | 2013xxx 或方法二：或，解得，所以原不等式12151215xx 5211x 2013xx 或的解集为 | 2013xxx 或【例例 4】解不等式：4321xx解：方法一：（零点分段法）
11、（1）当时，原不等式变为：，解得，所以；3 4x (43)21xx1 3x 1 3x （2）当时，原不等式变为：，解得，所以；3 4x 4321xx2x 2x 综上所述，原不等式的解集为1 |23x xx或方法二：或，解得或，所以原不等式的43214321xxxx 43(21)xx 1 3x 2x 解集为1 |23x xx或结论：（1）( )( )( )axbf xf xaxbf x （2）或( )( )axbf xaxbf x( )axbf x 练习 4：解不等式：431xx解：由得，解得，原不等式的解集为431xx(1)431xxx24 53x24 |53xx【例例 5】解方程：（1） （
12、2）213xx215xx（3） （4）314xx324xx【初中知识链接】在三角形中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这个结论反映在数轴上是这样的：若和是数轴上的两个数，那么当时，数到和的距离之和等于与的距离；当abaxbxabab或时，数到和的距离之差的绝对值，等于与的距离xaxbxabab以上所有问题都可以用此方法解决解：（1）等式左边式子的几何意义是，实数到和 1 的距离之和，而和 1 的距离之21xxx22和也刚好是 3，容易知道，当位于和 1 之间时，到和 1 的距离之和就刚好为 3，所以的取值范围是x2x2x21x （2）等式左边式子的几何意义是，实数到和 1 的距离之和，由于和 1 的距离是 3，所以一定在x22x和 1 的两边，经过计算，可知当位于和时，满足条件2x32（3）等式左边式子的几何意义是，实数到和 1 的距离之差，由于和 1 的距离刚好是 4，所以当x33位于到 1 的两边时，到和 1 的距离之差刚好为 4，的取值范围是或x3x3x3x 1x （4）等式左边式子的几何意义是，实数到和 2 的距离之差，由于和 1 的距离刚好是 5，所以一x33x定位于到 2 之间，可知当位于和时，满足条件3x5
