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1、第十一章全等三角形(复习),一.全等三角形:,1:什么是全等三角形?一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形?,2:全等三角形有哪些性质?,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。,(1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2):全等三角形的周长相等、面积相等。 (3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。,知识回顾:,一般三角形 全等的条件:,1.定义(重合)法;,2.SSS;,3.SAS;,4.ASA;,5.AAS.,直角三角形 全等特有的条件:,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,回顾知识点:,边边边
2、:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”) 斜边.直角边:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”),方法指引,证明两个三角形全等的基本思路:,(1)已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,(SAS),(2)已知一边一角-,已知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个边(SAS),
3、找这边的对角 (AAS),找一角(AAS),已知角是直角,找一边(HL),(3)已知两角-,找两角的夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,用法: QDOA,QEOB,QDQE 点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,用法: QDOA,QEOB, 点Q在AOB的平分线上 QDQE,二.角的平分线: 1.角平分线的性质:,2.角平分线的判定:,总结提高,学习全等三角形应注意以下几个问题:,(1)要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与 “对角”的不同含义;,(2)表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的
4、位置上;,(3)要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;,(4)时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”,练习1:如图,AB=AD,CB=CD. 求证: AC 平分BAD,2、如图,D在AB上,E在AC上,AB=AC ,B=C, 试问AD=AE吗?为什么?,解: AD=AE,3、如图,OBAB,OCAC,垂足为B,C,OB=OC AO平分BAC吗?为什么?,答: AO平分BAC,4、如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD求证:DCAB,练习5: 如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块
5、碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以,带那块去合适?为什么?,AB=ED,AC=EF,BC=DF,DC=BF,7:已知 AC=DB, 1=2. 求证: A=D,8、如图,已知,ABDE,AB=DE,AF=DC。请问图中有那几对全等三角形?请任选一对给予证明。,ABFDEC,CBFFEC,ABCDEF,答:,9、如图,已知E在AB上,1=2, 3=4,那么AC等于AD吗?为什么?,解:AC=AD,10、已知,ABC和ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上求证:BE=AD,变式:以上条件不变,将ABC绕点C旋转一定角度(大于零度而小于六十度),以上的结论还成立吗?,
6、9、如图,已知E在AB上,1=2, 3=4,那么AC等于AD吗?为什么?,解:AC=AD,10、已知,ABC和ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上求证:BE=AD,变式:以上条件不变,将ABC绕点C旋转一定角度(大于零度而小于六十度),以上的结论还成立吗?,分析:由于两个三角形完全重合,故面积、周长相等。至于D,因为AD和BC是对应边,因此ADBC。C符合题意。,说明:本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中,对应顶点定在对应的位置上,易错点是容易找错对应角 。,例题精析:,连接例题,例2 如图2,AECF,ADBC,ADCB, 求证:ADFCBE,分析:已知ABC A1B1C1
7、,相当于已知它们的对应边相等.在证明过程中,可根据需要,选取其中一部分相等关系.,例3已知:如图3,ABCA1B1C1,AD、A1D1分别是ABC和A1B1C1的高.求证:AD=A1D1,图3,例4:求证:有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。,分析:首先要分清题设和结论,然后按要求画出图形,根据题意写出已知求证后,再写出证明过程。,说明:文字证明题的书写格式要标准。,如图:将纸片ABC沿DE折叠,点A落在点F处,已知1+2=100,则A= 度;,例5、如图6,已知:A90, AB=BD,EDBC于 D.求证:AEED,提示:找两个全等三角形,需连结BE.,图6,例6、如图:A
8、B=AC,BD=CD,若B=28 则C= ;,5、如图5,已知:AB=CD,AD=CB,O为AC任一点,过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E,求证:E=F.,提示:由条件易证ABCCDA 从而得知BACDCA ,即:ABCD.,第十三章 轴对称,小结与复习,把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做_对称点_.,一.轴对称图形,1、
9、轴对称图形:,2、轴对称:,3、轴对称图形和轴对称的区别与联系,轴对称图形,轴对称,区别,联系,图形,(1)轴对称图形是指( )具 有特殊形状的图形,只对( ) 图形而言; (2)对称轴( ) 只有一条,(1)轴对称是指( )图形的位置关系,必须涉及( )图形; (2)只有( )对称轴.,如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称.,如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那 么它就是一个轴对称图形.,一个,一个,不一定,两个,两个,一条,知识回顾:,4、轴对称的性质:,关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是 任
10、何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。,解:,3.,1、什么叫线段垂直平分线?,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。,2、线段垂直平分线有什么性质?,线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 (纯粹性)。,你能画图说明吗?,二.线段的垂直平分线,3.逆定理:与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上。(完备性),4.线段垂直平分线的集合定义:,线段垂直平分线可以看作是 与线段两个端点距离相等的所 有点的集合
11、。,三.用坐标表示轴对称小结: 在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.,点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为_.点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为_.,(x, y),( x, y),1、完成下表.,(-2, -3),(2, 3),(-1,-2),(1, 2),(6, -5),(-6, 5),(0, -1.6),(0,1.6),(-4,0),(4,0),2、已知点P(2a+b,-3a)与点P(8,b+2).若点p与点p关于x轴对称,则a=_ b=_.若点p与点p关于y轴对称,则a=_ b=_.,练 习,2,4,6,-
12、20,(抢答),思考:如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对称点, 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗?,15,点(x, y)关于直线x=1对称的点的坐标为(2-x, y),类似: 若两点(x1,y1)、(x2,y2)关于直线y=n对称,则 ;,归纳:若两点(x1,y1)、(x2,y2)关于 直线x=m对称,则;,y1=y2,x1=x2,X2=2m-x1,y2=2n-y1,(m= ),(n= ),4.利用轴对称变换作图:,如图:要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道什么地方,可使所用的输气管道线最短?,A,B,L,P,三.(等腰三角形)知识点回顾,1.等腰三角
13、形的性质 .等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一) 2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边),四.(等边三角形)知识点回顾,1.等边三角形的性质:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600 。 2、等边三角形的判定:三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它 所对的直角边等于斜边的一半。,1、如图,在ABC中,AB=AC时, (1)ADBC _= _;_=_ (2) AD是中
14、线 _; _= _ (3) AD是角平分线 _ _;_=_,BAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BAD,CAD,AD,BC,BD,CD,练习:,例 1:如图 1,AD 是ABC 的角平分线,BEAD 交 AD 的延长线于 E,EFAC 交 AB 于 F,求证:AFFB.,图 1,BEAE,BEFFEA90,ABEBAD90.ABEFEB,BFEF,AFFB.,证明:AE 平分BAC,BADCAD,EFAC,CADAEF.BADAEF,AFEF.,求证:BC AB.,例 2:试证明:在直角三角形中,如果一个锐角等于 30,,那么它所对的直角边等于斜边的一半,已知:在ABC 中,C90,A30
15、.如图 2.,图 2,1 2,证明:如图 3,作出ABC 关于 AC 对称的ABC.则 ABAB.CAB30,BBBAB60.ABBBAB.,图 3,又ACBB,,1如图 4,AD 是ABC 的边 BC 上的高,由下列条件中的某一个就能推出ABC 是等腰三角形的是_(把所有正,确答案的序号都填写在横线上)BADACD;BADCAD;ABBDACCD;ABBDACCD.,图 4,2某等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和 6 cm,则它的,周长为(,),C,A9 cmB12 cmC15 cmD12 cm 或 15 cm,3等腰三角形的一个角为 30,则底角为_,30或 75,DBCEAC A.,