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1、1第一章 解三角形 正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 RCc Bb Aa2sinsinsin （其中 R 是三角形外接圆的半径）2.变形：1）sinsinsinsinsinsinabcabc CCAA2）化边为角：CBAcbasin:sin:sin:；;sinsin BA ba;sinsin CB cb;sinsin CA ca3）化边为角：CRcBRbARasin2,sin2,sin24）化角为边： ;sinsin ba BA;sinsin cb CB;sinsin ca CA5）化角为边： RcCRbBRaA2sin,2si
2、n,2sin二.三角形面积1.BacAbcCabSABCsin21sin21sin21三.余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的 2 倍，即Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos22222.变形：bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos222注意整体代入，如：21cos222Bacbca2利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是CA的角A、C的对边，则：若，所以为锐角若为直角Aabc222若， 所以为钝角，则是钝角三角形 三角形中常见的结论 三角形三角关系：A+B+C
3、=180；C=180(A+B)； 三角形三边关系：两边之和大于第三边：，；两边之差小于第三边：，；在同一个三角形中大边对大角：BAbaBAsinsin4) 三角形内的诱导公式：sin()sin,ABCcos()cos,ABC tan()tan,ABC )2sin()2cos()22cos()22sin( )22tan(2tanCCCC CBA 7) 三角形的五心： 垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点解三角形一、选择题一、选择题(本大题共 12
4、 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1在ABC 中，a2，b，c1，则最小角为( )3A. B. C. D.1264332ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c，设向量 p(ac，b)，q (ba，ca)，若 pq，则角 C 的大小为( )A. B. C. D.632233.在ABC 中，已知|4，|1，SABC，则等于( )ABAC3ABACA2 B2 C4 D2 4ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 c，b，B120，则 a26等于( ) A. B2 C. D.6325在ABC 中，A120，AB5，BC7，则的值为( )sin Bsin CA
5、. B. C. D.85585335 6已知锐角三角形的边长分别为 2,4，x，则 x 的取值范围是( ) A1x B.x C1x2 D2x255135357在ABC 中，a15，b10，A60，则 cos B 等于( )A B. C D.2 232 236363 8下列判断中正确的是( ) AABC 中，a7，b14，A30，有两解 BABC 中，a30，b25，A150，有一解 CABC 中，a6，b9，A45，有两解 DABC 中，b9，c10，B60，无解 9在ABC 中，B30，AB，AC1，则ABC 的面积是( )3A. B. C.或 D.或3432332323410在ABC 中，
6、BC2，B ，若ABC 的面积为，则 tan C 为( )332A. B1 C. D.33332 11在ABC 中，如果 sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bcos Acos B2，则ABC 是( ) A等边三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D直角三角形 12ABC 中，若 a4b4c42c2(a2b2)，则角 C 的度数是( ) A60 B45或 135C120 D30 二、填空题二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13在ABC 中，若，则 B_.sin Aacos Bb 14在ABC 中，A60，AB5，BC7，则ABC 的面积为_
7、15一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 64 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为_海里/小 时 16在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若(bc)cos Aacos C，则3cos A_. 三、解答题三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17.在ABC 中，角 A、B、C 的对边是 a、b、c，已知 3acosAccosBbcosC(1)求 cosA 的值；(2)若 a1，cosBcosC，求边 c 的值2 33418(12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边
8、分别为 a、b、c，a2bsin A. (1)求 B 的大小 (2)若 a3，c5，求 b.319.已知ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosC1 2cb.(1)求角 A 的大小； (2)若 a1，求ABC 的周长l的取值范围.20在ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a，b，c，已知.coscoscos2CbBcAa (1）求Acos的值；5(2）若23coscos, 1CBa，求边 c 的值.21(12 分)在ABC 中，内角 A、B、C 对边的边长分别是 a、b、c.已知 c2，C .3 (1)若ABC 的面积等于，求 a，b.3(2)若 sin B2s
9、in A，求ABC 的面积22如图，在ABC中，点D在BC边上，33AD ，5sin13BAD，3cos5ADC(1）求sinABD的值； (2）求BD的长解三角形解三角形 答案答案 61B 2B 3.D4D 5D 6D 7D 8B 9D 10C 11C 12B 1345 1410 158 16.3633 17【答案】(1)由余弦定理b2a2c22accosB， c2a2b22abcosC有ccosBbcosCa，代入已知条件得 3acosAa，即 cosA1 3(2)由 cosA 得 sinA,则 cosBcos(AC) cosCsinC，1 32 231 32 23代入 cosBcosC得
10、 cosCsinC，从而得 sin(C)1，2 3323其中 sin，cos (0)则C，于是 sinC，由正弦定理得c3363 2 263asinC sinA3218解解 (1)a2bsin A，sin A2sin Bsin A，sin B .0B ，B30.122 (2)a3，c5，B30.3由余弦定理 b2a2c22accos B(3)252235cos 307.33b.719【答案】(1)由 acosC1 2cb 和正弦定理得，sinAcosC1 2sinCsinB，又 sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，1 2sinCcosAsinC，sinC0，cosA1 2，
11、0A，A3.(2)由正弦定理得，basinB2sinBsinA3，casinC2 sinA3sinC，则labc12 3(sinBsinC)12 3sinBsin(AB)12(3 2sinB1 2cosB)12sin(B6).A3，B(0，2 3)，B6(6，5 6)，sin(B6)(1 2，1 ，ABC 的周长l的取值范围为(2,3. 20【答案】 （1）由CbBcAacoscoscos2及正弦定理得,cossincossincossin2CBBCAA即.sincossin2CBAA又,ACB所以有,sincossin2AAA即.sincossin2AAA而0sinA，所以.21cosA(2
12、）由21cosA及 0A，得 A.3因此.32ACB7由,23coscosCB得,23 32coscos BB即23sin23cos21cosBBB，即得.23 6sin B由,3A知.65,66B于是,36B或.32 6B所以6B，或.2B若,6B则.2C在直角ABC 中， c1 3sin，解得;332c若,2B在直角ABC 中，,1 3tanc解得.33c21解解 (1)由余弦定理及已知条件得 a2b2ab4. 又因为ABC 的面积等于，3所以 absin C，由此得 ab4.123 联立方程组Error!解得Error! (2)由正弦定理及已知条件得 b2a. 联立方程组Error!解得Error!所以ABC 的面积 S absin C.122 3322【答案】 （1）因为3cos5ADC，所以24sin1 cos5ADCADC因为5sin13BAD，所以212cos1 sin13BADBAD因为ABDADCBAD ，所以sinsinABDADCBAD sincoscossinADCBADADCBAD 4123533 51351365(2）在ABD中，由正弦定理，得sinsinBDAD BADABD，所以533sin132533sin 65ADBADBDABD
