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1、12016 年考研数学二真题一、选择题一、选择题 1 18 8 小题每小题小题每小题 4 4 分，共分，共 3232 分分当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范 0x)(lnx21 1 1)cos(x x 围是（ ）（A） （B） （C） （D）),( 2),( 21),(121),(2102下列曲线有渐近线的是（A） （B）（C） （D）xxysin xxysin 2 xxy1sin xxy12sin 3设函数设函数具有二阶导数，具有二阶导数，则在，则在上（上（ ）)(xfxfxfxg)()()(110 , 10（A）当）当时，时， （B）当）当时，时，0 )( xf)()(xgxf
2、0 )( xf)()(xgxf （C）当）当时，时， （D）当）当时，时，0 )(xf)()(xgxf 0 )(xf)()(xgxf 4曲线 上对应于上对应于的点处的曲率半径是（的点处的曲率半径是（ ） 14722ttytx,1 t（）（） (） （）5010 1001010101055设函数，若，则（ ）xxfarctan)( )( )( xfxf 220xx lim（） （） （） （） 132 21 316设在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足),(yxu及，则（ ） 02 yxu02222 yu xu（A）的最大值点和最小值点必定),(yxu都在区域
3、D 的边界上； 2（B）的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；),(yxu（C）的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；),(yxu（D）的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上),(yxu7行列式等于dcdcbaba00000000（A） （B） （C） （D）2)(bcad 2)(bcad 2222cbda 2222cbda 8设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向321 ,lk,31 k 32 l 量线性无关的321 ,（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 二、填空题（本题共
4、二、填空题（本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 2424 分分. . 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上）9 12521dxxx10设为周期为 4 的可导奇函数，且，则 )(xf 2012,),()( xxxf )(7f11设是由方程确定的函数，则 ),(yxzz 4722 zyxeyz 21 21,|dz12曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为 L rL 22 ,),(r13一根长为 1 的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒x 10,122 xxx)( 的质心坐标 x314设二次型的负惯性指数是 1，则的取值范围32312 22 132142
5、xxxaxxxxxxf ),(a是 三、解答题三、解答题 15 （本题满分 10 分）求极限 )ln()( limxxdttetxtx111211 2 16 （本题满分 10 分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小)(xyy yyyx 12202 )( y)(xy值 17 （本题满分 10 分）设平面区域计算 004122 yxyxyxD.,| ),( Ddxdyyxyxx)sin(22 18 （本题满分 10 分）设函数具有二阶连续导数，满足若)(uf)cos(yefzx xxeyezyz xz2 2222 4)cos( ，求的表达式0000 )( ,)(ff)(uf19 （本题满分
6、 10 分）设函数在区间上连续，且单调增加，证明：)(),(xgxf ba.)(xf10 )(xg（1）； baxaxdttgxa,)( 0（2） badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(20 （本题满分 11 分）设函数，定义函数列 101,)( xxxxf，)()(xfxf 1)()(xffxf12 ),()(,xffxfnn1 设是曲线，直线所围图形的面积求极限nS)(xfyn 01 yx,nnnS lim21 （本题满分 11 分）4已知函数满足，且，求曲线),(yxf)(12 yyfyyyyyfln)()(),( 212所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积0 ),(
7、yxf1 y22 （本题满分 11 分）设，E 为三阶单位矩阵 302111104321A（1）求方程组的一个基础解系；0 AX（2）求满足的所有矩阵EAB 23 （本题满分 11 分）证明阶矩阵与相似n 111111111 n002001002015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二年全国硕士研究生入学统一考试数学二 试题及答案试题及答案一、选择题一、选择题:18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分. .下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上题目要求的，请将所选项前的字母填
8、在答题纸指定位置上. . 1、下列反常积分中收敛的是（）（A） （B） (C) (D)21dxx 2ln xdx x 21 lndxxx 2xxdxe 2、函数在内（）20sin( )lim(1)x tttf xx(,) （A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点53、设函数，若在处连续，则（）1cos,0( ) 0,0xxf xx x (0,0)( )fx0x （A A） (B)(B) (C)(C) (D)(D)1012024、设函数在连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线( )f x(,) ( )fx的拐点个数为（）( )yf x（A）0 (B)1 (C)2
9、 (D)35、设函数满足，则与依次是（）(uv)f，22(,)yf xyxyx 1 1u vf u 1 1u vf v （A）,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,-1 21 21 21 26、设 D 是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数21,41xyxy,3yx yx在 D 上连续，则=（）( , )f x y( , )Df x y dxdy（A）（B）1 2sin2 1 42sin2( cos , sin )df rrdr 1 sin22 1 42sin2( cos , sin )df rrdr （C）（D）1 3sin2 1 42sin2( cos , sin )df rrdr
10、 1 sin23 1 42sin2( cos , sin )df rrdr 7、设矩阵 A=，b=,若集合 =，则线性方程组有无穷多个解的2111 12a 14a 21dd 1,2Axb充分必要条件为（）（A） (B) (C) (D) ,ad,ad,ad,ad8、设二次型在正交变换下的标准形为其中，123( ,)f x x xxPy222 1232,yyy123P=(e ,e ,e )若，则在正交变换下的标准形为（ ）132( ,)Qe ee123( ,)f x x xxPy(A) (B) (C) (D) 222 1232yyy222 1232yyy222 1232yyy222 1232yyy
11、二、填空题：二、填空题：9 91414 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分. .请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上. .69、设223 1arctan,3txtd y dxytt则10、函数在处的 n 阶导数2( )2xf xx0x ( )(0)nf11、设函数连续，若，则( )f x20( )( ),xxxf t dt(1)1(1)5(1)f12、设函数是微分方程的解，且在处取值 3，则=( )yy x20yyy0x ( )y x( )y x13、若函数由方程确定，则=( , )zz x y231xyzexyz(0,0)dz14、设 3
12、阶矩阵 A 的特征值为 2，-2,1，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式2BAAE=B三、解答题：三、解答题：15152323 小题小题, ,共共 9494 分分. .请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上. .解答应写出文字说明、证解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤. . 15、 （本题满分 10 分）设函数，若与在是等价无穷小，( )ln(1)sinf xxxbxx2( )g xkx( )f x( )g x0x 求的值。, ,a b k16、 （本题满分 10 分）设，D 是由曲线段及直线所形成的平面区域， ，0A sin (0)2yAxx,2yo x1V分别表示 D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，若，求 A 的值。2V12VV得：8A17、 （本题满分 10 分）已知函数满足，求( , )f x y“( , )2(1)x xyfx yye( ,0)(1)x xfxxe2(0, )2fyyy的极值。( , )f x y18、 （本题满分 10 分）计算二重积分，其中()Dx xy dxdy
