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1、新编线性代数习题解答新编线性代数习题解答习题习题 1 11.求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）4 1 5 3 2； （4）3 7 1 2 4 5 6；（5）1 3 2 4 ；(21)n(2 )n（6）1 3 2.(21)n(2 )n(22)n2.利用对角线法则计算下列二阶、三阶行列式：（1）； （2）；3214201 141 183 （3）； （4）.abc bca cabxyxy yxyx xyxy 3.在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号：(1)；233142561465a a a a a a(2).334214516625a a a a a
2、a4.计算下列各行列式：（1）； （2）；00010 0020010000 0000n nL L MMM M M L L1234214334124321（3）； （4）；210012100121001204512 50201 72034 31150 23013 （5）； （6）.abacae bdcdde bfcfef 1111 1111 1111 1111x x y y 5.证明:(1)；111213141521222324253132414251520000 000 000aaaaa aaaaa aa aa aa（2）=；2222111aabbaabb3()ab(3)=； 11111122
3、2222bccaab bccaab bccaab 1112222abcabcabc(4)；222244441111 abcd abcd abcd；()()()()()ab ac ad bc bd()() cd abcd(5).1221100001000001nnnxxxaaaaxaLLMMMMMLL1 11nn nnxa xaxa L6.计算下列各阶行列式：n(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是 0；11aaOa(2)；1 11xaa axaaax L L MMM L（3），；123111100100100naaaaLLLMMMML230中中na aaL(4),；12111 1111
4、11na aa L L MMM L120na aa L中中(5)；111222(1)(2)()(1)(2)()12111nnnnnnaaanaaanaaanLLMMMLL(6).det(),nijijDaaij中中7.利用拉普拉斯定理计算下列各行列式：（1）；320000 430000 002100 003200 000032 000054（2）；3002034040030560(3).11 2 110000nnnnnababDcdcdONNO解答习题解答习题 11.（1）0；（2）4；（3）6；（4）7；（5）；（6）.(1) 2n n(1)n n2.（1）-14；（2）-4；（3）；（4）
5、.3333ababc332()xy3.（1）正号；（2）负号.4.（1）；（2）900；（3）5；（4）799；（5）；（6）(1)(2) 2( 1)! nn n4abcdef.22x y5.提示：（1）用行列式定义证明；（2） 、 （3） 、 （4）用行列式性质证明；（5）用数学 归纳法证明.6.（1）；（2）；（3）22(1)naa11 (1) (1) nxna xa；（4）；（5）；（6）231 21()()nn iia aaaaL12 11()(1)nn iia aaaL1() n ijij.12( 1)(1)2nnn7.（1）2；（2）2；（3）.1()niiii ia dbc习题习
6、题 2 21.有 6 名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手 1 胜选手 2，4，5，6 负于选手 3；选 手 2 胜选手 4，5，6 负于选手 1，3；选手 3 胜选手 1，2，4 负于选手 5，6；选手 4 胜选手 5，6 负于选手 1，2，3；选手 5 胜选手 3，6 负于选手 1，2，4；若胜一场得 1 分，负一场 得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序.2.某种物资以 3 个产地运往 4 个销地，两次调运方案分别为矩阵与矩阵.且AB，3572 2043 0123A 1320 2157 0648B 试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量.3.设，求与.111123 111124 111
7、051AB ，32ABATA B4.某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量 用如下矩阵表示：234 123 241A 甲乙丙方法一 方法二 方法三若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为 10 元，8 元，7 元，试用矩阵的乘法求出以何 种方法获利最多.5.设，问12101312AB，（1）吗？ABBA（2）吗？2222ABAABB（3）吗？22ABABAB6.举反例说明下列命题是错误的：（1）若，则；2AOAO（2）若，则或；2AAAOAE（3）若，且，则.AXAYAOXY7.设，求.101A23kAAAL，8.设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是
8、.AB、nABABBA9.用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵：（1）； （2）；12 25 cossin sincos （3）； （4）.121 342 541 1234 0123 0012 0001 10.解下列矩阵方程：（1）；25465321X（2）；211113210432111X（3）.010100143 100001201 001010120X 11.设方阵满足，证明可逆，并求其逆矩阵.A225AAEO3AE12.已知对给定方阵，存在正整数，成立，试证可逆，并指出AkkAOEA的表达式.1EA13.设为 3 阶方阵，求.A1 2A 125AA14.设方阵可逆，证明其伴随矩阵也可逆，且.A
9、A 11AA15.设，求.131 020 101A 2ABEABB16.设三阶矩阵满足关系：，且AB，16A BAABA,1002 1004 1007A 求.B17.设，求.033 110 123A 2AXAXX18 已知，其中，求及.APP100100 210000 211001P ，=A5A19.设和均可逆，证明也可逆，并求其逆矩阵.A B,AB11AB20.将矩阵化为行阶梯形矩阵，并求矩阵的一个最高阶非21314254 42622140A A零子式.21.用初等变换法求下列矩阵的逆：（1）； （2）；111211120 321 315 323 （3）； （4）.3201 0221 123
10、2 0121 1357012300120001 22.下列矩阵的秩.：（1）； （2）；1234 124511012 32131 2131370518 （3）； （4）.1001 3103 1201 1457 24131 12102 3636a 23.设为阶矩阵，且,证明.An2AA R AR AEn24.设，求.34 43 20 22O A O 84AA，25.设矩阵和均可逆，求分块矩阵的逆矩阵，并利用所得结果求矩阵ABOABO 的逆矩阵.0052 0021 8300 5200 解答习题解答习题 21.，选手按胜多负少排序为 1 2 3 4 5 6.123456110111 2 00111
11、3 11100 4 00011 5 00101 6 00100 2. 35721320 20432157 01230648AB .4892 4191007611 3. 111123111 333 1111242 111 111051111ABA 21322 21720 4292 058123056124290051TTA B .002123058 559124056 860051290 4.，方法一获利最多.1072 844 759A （），ABBA因为，所以34124638ABBA，ABBA（）2222ABAABB因为 22 25AB22222814 25251429AB但 22386810
12、10162411812341527AABB所以 2222ABAABB（）22ABABAB因为 ，2202 2501ABAB，220206 250109ABAB而 ，22381028 4113417AB故 22ABABAB6.（1）取，而；1111AO2AO（2）取，有，而；1000AAOAE，2AA（3）取，有，而.101010000001AXY，XYAXAY7. ；2101010 1121AAA；3210101021131AA A由此推出 102 31kAkkL，下面利用数学归纳法证明这个结论当时，结论显然成立12kk，假设时结论成立，即有 1k 110 11kAk则对于时，有 ，故结论成k1101010 1111kkAAAkk
