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1、第 1 页2018 年东北三省三校一模考试（数学理科）年东北三省三校一模考试（数学理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分1.复数2 1i i的模为( )A.1 2B.2 2C.2D.22.已知集合29Ax yx，Bx xa，若ABA，则实数a的取值范围是( )A., 3 B., 3 C.,0D.3,3.从标有 1、2、3、4、5 的五张卡片中，依次抽出 2 张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( )A.1 4B.1 2C.1 3D.2 34.已知1sin33a，则5cos6a( )A.1
2、 3B.1 3C.2 2 3D.2 35.中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点2,4，则它的离心率为( )A.5 2B.2C.3D.56.5 2121xx展开式中的常数项是( )A.12B. 12C.8D.87.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x的值是( )A.3 2B.9 2C.1D.38.已知函数 3sincos0f xxx的图象的相邻两条对称轴之间的距离是2，则该函数的一个单调增区间为( )A.,3 6 B.5,12 12C.2,63 D.2,339.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入
3、8521m ，6105n ，则输出m 的值为( )A.148B.37C.333D.010.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的侧面积为4 3，则该半球的体积为( )第 2 页A.4 3B.2 3C.8 2 3D.4 2 311.已知抛物线2:2C yx，直线1:2l yxb 与抛物线C交于A，B两点，若以 AB 为直径的圆与 x轴相切，则b的值是( )A.1 5B.2 5C.4 5D.8 512.在ABC，90C ，24ABBC，,M N是边 AB 上的两个动点，且1MN ，则CM CN 的取值范围为( )A.11,9
4、4 B.5,9C.15,94 D.11,5 4 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13.在ABC中，2AB ，7AC ，2 3ABC，则BC _.14.若 , x y 满足约束条件10040xxyxy ，则1y x 的最大值为_.15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；在哈尔滨工作的教师不教C学科；在长春工作的教师教A学科；乙不教B学科.可以判断乙教的学科是_.16.已知函数 21ln2f xxxx，0x 是函数 f x的极值点
5、，给出以下几个命题：010xe；01xe； 000f xx； 000f xx；其中正确的命题是_.(填出所有正确命题的序号)三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知正项数列 na满足：2423nnnSaa，其中nS为数列 na的前n项和.(1)求数列 na的通项公式；(2)设21 1n nba，求数列 nb的前n项和nT .18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润 200 元，未销售的产品返回厂家，每台亏损 50 元，第 3 页根据往年的
6、经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间20, 10，需求量为 100台；最低气温位于区间25, 20，需求量为 200 台；最低气温位于区间35, 25，需求量为 300 台。公司销售部为了确定 11 月份的订购计划，统计了前三年 11 月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温()35, 3030, 2525, 2020, 1515, 10天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.(1) 求 11 月份这种电暖气每日需求量X(单位：台)的分布列；(2) 若公司销售部以每日销售利润Y (单位：元)的数学期望为决策依据，计划
7、11 月份每日订购 200 台或250 台，两者之中选其一，应选哪个？19.如图，四棱锥PABCD中，平面 PAD 平面ABCD，且 PAPD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段 AB 、BC、CD的中点， F 是 PE 上的一点，2PFFE.直线 PE 与平面ABCD所成的角为4.(1)证明： PE 平面MNF；(2)设ABAD，求二面角BMFN的余弦值.20.已知椭圆2222:10xyCabab过抛物线2:4M xy的焦点 F ，1F ，2F分别是椭圆C的左、右焦点，且1126FF FF .(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求OAB面
8、积的最大值.第 4 页21.已知函数 xf xe， lng xx， h xkxb.(1)当0b 时，若对任意0,x均有 f xh xg x成立，求实数k的取值范围；(2)设直线 h x 与曲线 f x和曲线 g x相切，切点分别为 11,A xf x， 22,B x g x，其中10x .求证：2xe；当2xx时，关于 x的不等式11ln0a xxxx恒成立，求实数a的取值范围.22.已知曲线1C的极坐标方程为：4cos，以极点为坐标原点，以极轴为 x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为：132 3 2xtyt (t为参数)，点3,0A.(1)求出曲线1C的直角坐标方程和曲线2C的普
9、通方程；(2)设曲线1C与曲线2C相交于P，Q两点，求 APAQ的值.23.已知不等式25211xxax.(1)当1a 时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为R，求a的范围. 第 5 页2018 年三省三校一模考试（年三省三校一模考试（数学理科）数学理科）答案答案一选择题：一选择题：CABBA BDABD CA 二填空题：二填空题：13.1 14. 3 215.C 16. 三解答题：三解答题：17. （本题满分 12 分）解：（）令1n ，得2 111423aaa，且0na ，解得13a . 当2n 时，22 1114422nnnnnnSSaaaa，即22 11422nnnnnaaaaa，
10、 整理得11()(2)0nnnnaaaa，Q0na ，12nnaa， 所以数列na是首项为 3，公差为 2 的等差数列，故3(1) 221nann. （）由（）知：221111 11()1444 (1)41n nbannn nnn， 12+nnTbbbL11111111(1)(1)422314144n nnnn. 18 （本题满分 12 分） 解：（1）由已知 X 的可能取值为 100,200,300X 的分布列为X100200300P0.20.40.4（2） 由已知当订购 200 台时，E()200 10050 (200 100) 0.2200 200 0.835000Y (元) 当订购 2
11、50 台时，E()200 10050 (250 100) 0.2200 20050 (250200) 0.4Y +200 250 0.437500（元）综上所求，当订购250台时，Y 的数学期望最大，11 月每日应订购 250 台。19 （本题满分 12 分）.解：（）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OPAD.第 6 页因为平面PAD 平面ABCD，所以OP 平面ABCD，4PEO，OPOE.方法一：因为/ /MNBC，/ /OEAB，所以MNOE，所以MNPE.又12 44EFPEOE，1 2EQOE，所以2 4EFEQ EOEP，所以EFQEOP，所以2EFQEOP ，所
12、以PEFQ.且MNFQQ，所以PE 平面MNF.方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q,连接FQ，则OPAD.因为平面PAD 平面ABCD，所以OP 平面AC，4PEO，OPOE.又因为/ /MNBC，/ /OEAB，所以MNOE，所以MNPE.以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.设ABm，ADn，则0,0,Pm，0,0Em，,02 2n mM，30,44m mF，于是0,PEmm ,2 44n m mMF .所以0PE MF ，所以PEMF，且MNMFM，所以PE 平面MNF（）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OPAD
13、.因为平面PAD 平面AC，所以OP 平面AC，4PEO，OPOE.以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.设ABADm，则0,0,Pm，0,0Em，第 7 页,02mBm，,022m mM，30,44m mF，于是0,PEmm ，0,02mBM ，,244mm mBF .设平面BMF的一个法向量为1n, ,x y z，则00BMBF11 nn，从而020244mymmmxyz ，令1x ,得1,0,21n.而平面NMF的一个法向量为2n0,PEmm .所以210cos,552mm 12 12 12=nnn nn n20 （本题满分 12 分）.解: （）(0,1),1Fb ，又1126FF FF ，226,3cc.又222,2abca，椭圆C的标准方程为2 214xy. （）设直线l与抛物线相切于点00(,)P xy，则2 00 0:()42xxl yxx，即2 00 24xxyx，联立直线与椭圆2 002 22414xxyxxy ，消去y，整理得2234 0001(1)404xxx xx.由24 0016(1)0xx
