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1、第二章 控制系统的数学模型,本章知识点： 线性系统的输入输出传递函数描述 建立机电系统数学模型的机理分析法 传递函数的定义与物理意义 典型环节的数学模型 框图及化简方法 信号流程图与梅逊公式应用 非线性数学模型的小范围线性化,第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述,物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。 数学模型物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。 数学建模从实际系统中抽象出
2、系统数学模型的过程。,建立物理系统数学模型的方法,机理分析法 对系统各部分的运动机理进行分析，按 照它们遵循的物理规律、化学规律列出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的数学模型。 实验辩识法 对系统施加某种测试信号（如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时间响应、频率响应），估算系统的传递函数。,机理分析法建立系统数学模型的步骤 确定系统的输入量、输出量； 根据物理定律列写原始方程； 消去中间变量，写出表示系统输入、输出关系的线性常微分方程。,机理分析法建立系统数学模型举例,例2-1:图2-1为RC四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。 解：设回路电
3、流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程组如下,(1),(2),(3),(4),(5),机理分析法建立系统数学模型举例,由(4)、(5)得由(2)导出将i1、i2代入(1)、(3)，则得,这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线性常微分方程。,机理分析法建立系统数学模型举例,机理分析法建立系统数学模型举例,例2-2 图2-6 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速m（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。,机理分析法建立系统数学模型举
4、例,解：列写电枢电路平衡方程,Ea电枢反电势，其表达式为 Ea=Cem（t） Ce反电势系数（v/rad/s）,由、求出ia(t)，代入，同时亦代入，得,在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，故可简化为,其中,电动机机电时间常数（s）,如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化为,电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。,第二节线性系统的输入输出传递函数描述,一、传递函数 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初使条件是指当t0时,系统r(t)、c(t)以及它们的各
5、阶导数均为零。 线性系统微分方程的一般形式为,当初始条件均为0时,对上式两边求拉氏变换，得系统的传递函数,的根，也即线性微分方程特征方程的特征值。 零点传递函数分子s多项式,传递函数G(S)是复变函数，是S的有理函数。且有mn。 极点传递函数分母s多项式,的根。,传函是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的。 如果已知系统的传递函数和输入信号,则可求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式C(s),对其求拉氏反变换可得到系统的响应 c(t)，称为系统的零状态响应。 系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传递函数则由系统的结构与参数决定。 传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式
6、，为1+开环传递函数。 同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其特征多项式唯一。 在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应，包括两部分系统响应=零输入响应+零状态响应零输入响应在输入为零时，系统对零初始状态的响应；零状态响应在零初始条件下，系统对输入的响应。,传递函数的几点性质,传递函数G(s)是复变量s的有理真分式函数，mn，且所有系数均为实数。 传递函数G(s)取决于系统或元件自身的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。 传递函数G(s) 描述了系统输出与输入之间的关系，但它不提供系统的物理结构信息。具有相同传递函数的不同物理系统称为相似系统。,传递函数的几
7、点性质,如果系统的传递函数未知，给系统加上某种输入，可根据其输出，确定其传递函数。 系统传递函数是系统单位脉冲响应g(t)的拉氏变换Lg(t)。,例23 求例21系统的传递函数。,已知其输入输出微分方程,设初始状态为零，对方程两边求拉氏变换，得,此即为RC四端网络的传递函数。,第三节 非线性数学模型的小范围线性化,严格讲，任何实际系统都存在不同程度的非线性。对于非本质非线性数学模型，可采用小范围线性化方法。,设一非线性数学模型如图所示。,设函数y=f（x）在（x0，y0）点附近连续可微(此即为非线性系统数学模型线性化的条件）,则可将函数f（x）在（x0，y0）附近展开成泰勒级数,式中,比例系数
8、,是随工作点A（x0，y0)不同而不同的常数,具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述方法相似。,求线性化微分方程的步骤 按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。 找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。 将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。 消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值用偏差量来表示。,注意： （1）线性化方程中的常数与选择的静态工作点的位置有关,工作点不同时,相应的常数也不相同。,（2）泰勒级数线性化是小范围线性化
9、。当输入量的变化范围较大时，用上述方法建立数学模型引起的误差较大。因此只有当输入量变化较小时才能使用。,（3）若非线性特性不满足连续可微的条件,则不能采用前述处理方法.,（4）线性化方法得到的微分方程是增量化方程。,由微分方程直接得出的传递函数是复变量s的有理分式。对于实际物理系统，传递函数的分子、分母多项式的所有系数均为实数，而且分母多项式的阶次n 不低于分子多项式的阶次m，分母多项式阶次为n的传递函数称为n阶传递函数，相应的系统称为n阶系统 。,传递函数可表示成复变量s的有理分式:,传递函数可表示成零、极点表示：,第四节 典型环节的数学模型,系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有个
10、零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为：,可见，系统传递函数是由一些常见基本因子,如式上中的(js+1)、1/(Tis+1)等组成。即系统传递函数表示为上式时，系统传递函数是这些常见基本因子的乘积。这些常见基本因子代表的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以用若干典型环节构成。具有相同基本因子传递函数的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的运动规律。,从传递函数的表示式中可以看到，传递函数的基本因子对应的典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等。,l比例环节,比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系为固定
11、的比例关系，即它的输出量能够无失真、无延迟地按一定的比例关系复现输入量。时域中的代数方程为,c(t)=Kr(t) t 0 式中K为比例系数或传递系数，有时也称为放大系数,所以比例环节的传递函数为 ：,L-变换 C(S)=KR(S),完全理想的比例环节是不存在的。对某些系统当做比例环节是一种理想化的方法。,2惯性环节,惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之间的关系可用下列微分方程来描述：,式中 K比例系数。T惯性环节的时间常数 ，衡量输出量跟随输入量的变化,L-变换 TSC(S)+C(S)=KR(S)传递函数 G(S)= C(s)/ R(s) =,3积分环节,输出量与输入量的积分成比例，系
12、数为K。积分环节的传递函数为：,积分环节的动态方程为：,积分环节具有一个零值极点，即极点位于S平面上的坐标原点处。T称为积分时间常数。从传递函数表达式易求得在单位阶跃输入时的输出为：C（t）=Kt,上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成比例地无限增加。,4振荡环节,振荡环节的微分方程是：,相应的传递函数为：,式中 T时间常数； 阻尼系数（阻尼比），且0 1。 振荡环节的传递函数具有一对共轭复数极点,在复平面S上的位置见图2-8所示,传递函数可改写为：,n=1/T无阻尼自然振荡频率。共轭复数极点为：,5微分环节,微分是积分的逆运算,按传递函数的不同,微分环节可分为三种
13、：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为 ：,相应的传递函数为：,6延迟环节,延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。其输出信号比输入信号迟后一定的时间。就是说，延迟环节的输出是一个延迟时间后，完全复现输入信号，即,式中 纯延迟时间。 单位阶跃输入时，延迟环节的输出响应如右图示 根据拉氏变换的延迟定理，可得延迟环节的传递函数为：,典型环节数学模型注意三点：,（1）系统的典型环节是按数学模型的共性去建立的，它与系统中采用的元件不是一一对应的。（2）分析或设计控制系统必先建立系统或被控对象的数学模型，将其与典型环节的数学模型对比后，即可知其由什么样的典型环节
14、组成。将有助于系统动态特性的研究和分析。（3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。,框图与信号流图方法是自动控制系统的两种图形研究方法，是分析系统的有力工具。 一框图的基本概念,控制系统的方框图又称为方块图或结构图，是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。,它用一个方框表示系统或环节，如上图所示。框图的一端为输入信号r(t)，另一端 是 经 过 系统或环节后的输出信号c（t），图中箭头指向表示信号传递的方向。方框中用文字表示系统或环节，也可以填入表示环节或系统输出和输入信号的拉氏变换之比-传递函数，这是更为常用的框图。,第五节 框图及其化简方法,六种典型环节的框图
15、如下：,（1）方块（Block Diagram）:表示输入到输出单向传输间 的函数关系。,二 框图元素,（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。,(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置,（4）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。,前向通路传递函数假设N(s)=0 ,打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。等价于C(s)与误差E(s)之比,反馈回路传递函数 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。,三 几个基本概念及术语,开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。,从上式可以看出，系统开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之乘积。,闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0，输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。,推导：因为,右边移过来整理得,即,请记住,*,误差传递函数 假设N(s)=0，误差信号E(s)与输入信号R(s) 之比 。,*,利用公式*，直接可得：,输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0,
