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1、第二章 数学模型基础(I),2.1 数学模型的定义和分类 2.2 模型的建立 2.3 模型参数的估值方法 2.4 模型的验证与误差分析 2.5 灵敏度分析,2.1 数学模型的定义和分类,一、数学模型的定义和特征 定义： 2. 特征： 抽象性多变量模拟；方便考察;节省费用、研究周期短； 局限性人的认识能力有限；求解计算过程中的累积误差； 系统结构与参数的不确定性（-适用区间）建立和应用数学模型的重要原则尊重客观、尊重实际,数学模型 = 公式+算法,简洁明晰；,抽象和简化,失真,二、数学模型的分类,从不同的角度可以对模型作各种形式的分类： 按变量与时间的关系：动态模型和静态模型 按变量之间的关系：
2、线性模型和非线性模型 按变量的变化规律：确定性模型和随机模型 按模型的用途：模拟模型和管理模型 按模型参数的性质：集中参数模型和分布参数模型,一、基本方法与思想1. 演绎法-对系统的结构和性质的认识和理解2. 归纳法-对系统的输入和输出的观测数据,2.2 模型的建立,机理模型,经验模型,二. 建立模型的基本要求,1. 真实可靠理论推导-严谨数据资料-可靠（质量保证）检验合格 2. 精确易解考虑主要变量，分析主要问题； 改变变量的性质：不重要的变量-常量连续变量-线性离散变量-连续变量 改变变量的函数关系； 注意特征尺度。 3. 模型中应有可控变量（可操纵变量）应该有一个或多个可控变量，否则不能
3、付诸实用,精确,复杂,易解,简单,数据的收集与分析 模型结构的选择白箱模型（机理模型）质量平衡建立微分方程灰箱模型（半机理模型）黑箱模型（输入-输出模型，纯经验模型）工程实际中，应用较多的是灰箱模型 模型参数的估计 模型的检验和修正,二、建立模型的过程,观测数据组,观测数 据组,模型结构选择,参数估计,检验和验证,模型应用,三. 建模的几种方法,1. 图解建模法 2. 质量平衡法 3. 因次分析法 4. 概率统计法 5. 数量化理论预测法 6. 灰色系统建模法,1. 图解建模法,管道铺设情况,关键路法(Critical Path Method-CPM),3. 因次分析法, 自然界物理现象的规律
4、，可以用完整的物理公式来表示； 完整的物理公式不随所采用的单位不同而改变公式的形式； 完整的物理公式必须符合因次和谐的条件； 因次和谐的条件为各个变量积的基本因此指数彼此相等。,因次分析的主要作用 （1）帮助认识物理现象之内在规律，有助于判断模型定律之选择； （2）指导实验方向，减少分析实验资料的变量数目； （3）校核公式。,4. 概率统计法,1）回归分析 一元线性回归 多元线性回归 非线性回归 2）时间序列预测 滑动平均法 加权滑动平均法 指数平均法,5. 数量化理论预测法,6. 灰色系统建模法,2.3 模型参数的估值方法,图解法 最小二乘法 网格法(穷举法） 最优化方法 经验公式计算法,一
5、. 图解法估参,二. 最小二乘法估参,三. 网格法（穷举法）估参,四.最优化方法(梯度法)估参,2.4 模型的验证与误差分析,图形表示法： 相关系数法：r 相对误差法,模型验证所用的数据对于参数估值来说应该是独立的。一个模型是否满足使用要求，以模型的计算结果和实际观测数据之间的吻合程度误差来判断。,一、灵敏度分析的意义模型的稳健性-Robustness（鲁棒性） 观测值存在的误差与波动 所估参数存在的误差与波动 模拟计算的误差与波动 有助于设计低灵敏度系统；有助于确定合理的设计裕量。,2.5 灵敏度分析,系统的状态向量，由描述系统的各种状态组成，如河流中的BOD、大气中的SO2浓度等；,系统的
6、决策向量，由系统中的可以控制的变量组成，如污染源排放的SO2、TSP的量；,系统的参数向量，由系统中的各种参数组成，如污染物的衰减速度常数、河流的弥散系数Dy、Dz等；,在环境系统的模拟、控制中，灵敏度的研究主要包括两个方面: 一是状态与目标对参数的灵敏度, 即参数的估计误差一定会对状态和目标产生影响， 这种影响有多大?如何确定参数估计的必要精度? 另一个是目标对决策的灵敏度 在污染控制规划中，决策变量 （如水质标准的选择)的变化对目标（如费用）有很大的影响， 如何确定这种影响的大小？如何确定合理的决策变量？,约束函数，符号S.t 表示系统的约束条件。,定义：在某取值点附近，状态或目标的变化率与参数变化率的比值 研究内容： 根据参数的变化范围估计目标或状态的灵敏度 目标对状态的灵敏度,二. 状态与目标对参数的灵敏度,考虑合理的设计容量 为设计合理的灵敏度系统提供依据,1.单变量时的灵敏度,一个最优化模型通常由状态方程和目标函数构成,状态方程表达周围环境条件的约束:,当状态变量和参数的数目都为1,且决策变量u=u*保持不变，那么状态变量x和目标Z都可写为参数0的函数： x*=f(0),Z*=F(0),状态变量对参数的灵敏度,目标函数对参数的灵敏度,当0时，可忽略高阶微分项：,2.多变量时的灵敏度,3.目标对状态约束的灵敏度,
