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1、,期末复习题,上页 下页 返回 结束,例. 求,解:,原式 = 1,上页 下页 返回 结束,补例. 设函数,问a为何值时，f(x)在 x = 0 连续 ;则 a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？,提示:,上页 下页 返回 结束,补例. 求,解： 利用中值定理求极限,原式,上页 下页 返回 结束,已知,解:,又,处的连续性及可导性.,上页 下页 返回 结束,模拟题(一)第六大题1小题,处连续,(1)求,(2)讨论,在,解：(1)因为,在,处连续，所以,所以,在,处的不可导。,处的可导性。,上页 下页 返回 结束,补例.,在,模拟题(二)第四大题 第1小题类似。,例. 设,且在,上,存在
2、, 且单调,递减 , 证明对一切,有,证: 设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立 .,上页 下页 返回 结束,设y= f (x)在(-1,1)内具有二阶连续导数且,试证:(1),证明:(1)由拉格朗日中值定理，对任一非零的,上页 下页 返回 结束,例.,存在唯一的,对于(-1,1)内的任一,使,由于在(-1,1)内具有二阶导数连续且,所以二阶导数不变号，则,严格单调,故,唯一。,(2):由麦克劳林公式得：,设f (x)在-a,a(a0)内具有二阶连续导数,(1),证明提示:(1)对任一,上页 下页 返回 结束,例.,(2)证明在-a,a上至少存在一点,写出f(x)拉格朗日余项的由麦克劳林公
3、式；,补例. 设,解:,令,求积分,即,而,上页 下页 返回 结束,P69 单元检测题第四大题方法类似，令,补例.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即, 因此,故,又,上页 下页 返回 结束,P69 单元检测题第三大题方法类似，求出,补例. 求,解: 令,比较同类项系数, 故, 原式,说明: 此技巧适用于形为,的积分.,上页 下页 返回 结束,解: 令,比较同类项系数, 故, 原式,上页 下页 返回 结束,P70 单元检测题第七大题,解: 令,解:, 原式,上页 下页 返回 结束,P88 模拟题(一)第三大题第3小题,证: 设,试证 :,则,故 F(x) 单调不减 ,即原题 成
4、立.,上页 下页 返回 结束,模拟题(二)第六大题第1小题,令,解：,补例.,求,定积分为常数 ,设,则,故应用积分法定此常数 .,上页 下页 返回 结束,补例.,解:,上页 下页 返回 结束,补例,解,上页 下页 返回 结束,补例. 设,在,其中,上连续, 且,证明提示:,上页 下页 返回 结束,证明：,由拉格朗日中值定理，对任一,补例. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,使,上连续, 在,证:,设辅助函数,显然,在 0 , a 上满足罗尔定理条件,故至,使,原题即证。,少存在一点,上页 下页 返回 结束,补例 求函数,的间断点，并指出类型.,解:,为跳跃间断点;,故,为无穷间断点.,
5、上页 下页 返回 结束,是间断点。,补例.,证明： 令,试证 :,则,上页 下页 返回 结束,补例,解: 等式两边对 x 求导, 得,即,两边积分，,上页 下页 返回 结束,得：,注意 f (0) = 0, 得C=1,模拟题(三)第四大题1小题类似。,补例.,解:,上页 下页 返回 结束,另解：,补例.,解:,上页 下页 返回 结束,在 x = 0 处连续。,求：,在 x = 0 处的连续性。,P53. 二、1,证: 只要证,利用一阶泰勒公式, 得,故原不等式成立.,或：,有：,有：,上页 下页 返回 结束,补例. 设f(x)是正的可微函数，证明：存在一点,分析：原题结论变形为,证:,设辅助函
6、数,显然,在 a , b 上满足拉格朗日中值定理条件,故至,使,原题即证。,少存在一点,上页 下页 返回 结束,证明：令,内有且仅有两个不同实根。,在,内有且仅有两个不同实根。,在,证明：方程,补例、,上页 下页 返回 结束,模拟题(一)第六大题 第2小题类似。,补例.,证法一: 令,上页 下页 返回 结束,原式右边=,=左边,补例.,证法二: 令,上页 下页 返回 结束,原式右边对x求导为：,原式左边变形为：,再对x求导为：,上式中令x=0，得C=0.,例.,求极限：,解答提示:原式=,上页 下页 返回 结束,补例. 求椭圆,在点(0,2)处的曲率。,解法一: 两边对x求导，,上页 下页 返
7、回 结束,将上面方程两边再对x求导得，,椭圆,在点(0,2)处的曲率为,补例. 求椭圆,在点(0,2)处的曲率。,解法二: 引进参数方程：,上页 下页 返回 结束,椭圆,在点(0,2)处的曲率为,解:,补例,上页 下页 返回 结束,求函数,在区间,上的最大值。,解：,所以当,时取最大值为：,证明:(1)存在,使得,(2)存在两个不同的点,使,解：1.(1) 令,由已知，有,由零点定理，存在,使得,(2),在0,1上连续,在(0,1)内可导,补例.已知函数,在0,1上连续,在(0,1)内可导,在0,1上连续,在(0,1)内可导,由拉格朗日中值定理，有,由(1)有，,即，,由上两式，有,例. 设实
8、数,满足下述等式,证明方程,在 ( 0 , 1) 内至少有一,个实根 .,证: 令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,上页 下页 返回 结束,证明:,由,故:,使,上页 下页 返回 结束,在,上满足,罗尔定理条件.,又由,故:,使,在,上满足,罗尔定理条件.,模拟题(三)第六大题第2小题,证明：,(x)在1,2有二阶导数，,解:,上页 下页 返回 结束,P78 二、设,P80 一、8解:,(分部积分),上页 下页 返回 结束,例、计算定积分:,补例. 求,上页 下页 返回 结束,解法一: 原式 =,解法二: 原式 =,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,上页 下页 返回
9、结束,模拟题(四)第四大题,为铅直渐近线;,为水平渐近线;,补例.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立 .,明对于任何,上页 下页 返回 结束,补例.,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,至少存在一点,上页 下页 返回 结束,证明: 令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0 ,从而不变号,因此,故所证等式成立 .,故由罗尔定理知 ,存在一点,上页 下页 返回 结束,思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?,如果能, 怎样设辅助函数?,提示:,设辅助函数,上页 下页 返回 结束,补例. 设
10、,证: 设,且,试证 :,则,故 F(x) 单调不减 ,即 成立.,上页 下页 返回 结束,P73.三、1.,上页 下页 返回 结束,解: 方程两边对 x 求导，得：,由方程,确定，求,解得：,P88 模拟题(一)第四大题第2小题类似可得：,P90 模拟题(二)第四大题第2小题类似可得：,P91 模拟题(三)第三大题第1小题类似可得：,P74.三、2.,上页 下页 返回 结束,，求,P88 模拟题(一)第四大题第1小题类似可得：,P90 模拟题(二)第三大题第3小题类似可得：,解:,补例. 设,通过(0,0),且当x0,1时, y0.,与直线 x1,y=0 所围图形的面积为4/9，且使该图形,
11、解答提示:,c=0,则,上页 下页 返回 结束,试确定a,b,c的值，使得抛物线,x轴旋转而成的旋转体体积最小。,解:,上页 下页 返回 结束,P77 一、1.,P77 一、2. 令,解:,所以反常积分,发散 .,上页 下页 返回 结束,P82 三、2.,P154 三、若,解答提示：,由比较审敛法的极限形式可知:,原级数绝对收敛。,存在，证明：级数,收敛。,级数,收敛。,或：,上页 下页 返回 结束,例. 若级数,均收敛 , 且,证明级数,收敛 .,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,上页 下页 返回 结束,P323 题3. 设正项级数,和,也收敛 .,提示: 因,存在 N 0,又因,利用收敛级
12、数的性质及比较审敛法易知结论正确.,都收敛, 证明级数,当n N 时,上页 下页 返回 结束,提示:,由比较审敛法的极限形式可知,收敛 .,设偶函数 f (x)的二阶导数,试证明：级数,证明提示:,上页 下页 返回 结束,例.,在x=0的某邻域,内连续，且,绝对收敛。,收敛，,由比较审敛法的极限形式原级数绝对收敛。,例.,的收敛半径 和收敛域。,解:,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,直接由,上页 下页 返回 结束,级数为,一般项极限不为0,发散。,设,(2)试证：对任意常数0,级数,解答提示:,上页 下页 返回 结束,例.,(1)求级数,的和。,收敛。,收敛，,由比较审敛法原级数收敛。,设正项数列,试问：,解答提示:由正项数列,上页 下页 返回 结束,例.,单调减少，且,发散，,是否收敛？并说明理由。,收敛，,由比较审敛法原级数收敛。,单调减少，,发散，由莱布尼茨定理知，,
