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1、差分方程建模专题讲座,王小才,主讲教师：,淮阴工学院数理学院,2010年全国大学生数学建模竞赛暑期集训,差分方程建模专题讲座,对于k阶差分方程,F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (1.1),若有xn = x (n), 满足,F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,则称xn = x (n)是差分方程(1.1)的解, 包含k个任意常数的解称为(1.1)的通解, x0, x1, , xk-1为已知时称为(1.1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1.1)的特解.,若x0, x1, , xk1已知，则形如 xn+k =
2、g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.,若有常数a是差分方程(1.1)的解，即,F (n; a, a, , a ) = 0, 则称 a是差分方程(1.1)的平衡点.又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 xna (n), 则称这个平衡点a是稳定的.,差分方程模型,一阶常系数线性差分方程xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数，且a -1, 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1)易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当|a|1时，b/(a +1)是稳定的平衡点.,差分方程模型,二
3、阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.,当r = 0时，它有一特解x* = 0；当r 0，且a + b + 1 0时，它有一特解 x*=r/( a + b +1).不管是哪种情形，x*是其平衡点. 设其特征方程2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2.,差分方程模型, 当1, 2 是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; 当1, 2=是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)n;,则,差分方程模型, 当1, 2=
4、(cos + i sin ) 是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ).易知，当且仅当特征方程的任一特征根 |i |1时, 平衡点x*是稳定的.,差分方程模型,对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn ),其平衡点x*由代数方程x = f (x)解出.为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程,差分方程模型,问 题,供大于求,现 象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,市场经济中的蛛网模型,xk第
5、k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,设x1偏离x0,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,蛛 网 模 型,稳定性分析,x1,曲线斜率,稳定性分析,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,稳定性分析, 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度, 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量, 消费者对需求的敏感程度, 生产者对价格的敏感程度,小, 有利于经济稳定, 小, 有利于经济稳定,xk
6、第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,1. 使 尽量小，如 =0,以行政手段控制价格不变,2. 使 尽量小，如 =0,靠经济实力控制数量不变,结果解释政府干预,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,模型的推广,方程通解,(c1, c2由初始条件确定),1, 2特征根，即方程 的根,平衡点稳定的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件,模型的推广,一、一阶线性常系数差分方程 二、高阶线性常系数差分方程 三、线性常系数差分方程组,一、一阶线
7、性常系数差分方程,濒危物种的自然演变和人工孵化 问题 Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和-3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算。,模型建立,记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为xk+1=(1+r)xk k=0,1,2 已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况,Matlab实现,首先建立
8、一个关于变量n, r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:nx(k+1)=a*x(k); end,在command窗口里调用sqh函数,k=(0:20);y1=sqh(20,0.0194);y2=sqh(20,-0.0324);y3=sqh(20,-0.0382);round(k,y1,y2,y3),%一个行向量,%也是一个行向量,%对变量四舍五入，但 是不改变变量的值,利用plot 绘图观察数量变化趋势,可以用不同线型和颜色绘图 r g b c m y k w 分别表示红绿兰兰绿洋红黄黑白色 ： + o * . X s d 表示不同的线型
9、,plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图,plot(k,y1,r,k,y2,y,k,y3,-)gtext(r=0.0194) gtext(r=-0.0324) gtext(r=-0.0382)在图上做标记。,人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化 Xk+1=aXk +5 ,a=1+r 如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令 Xk+1=aXk +b ,a=1+r,观察200年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势可以考察每年孵化数量变化的影响。,function x=fhsqh(n,r,b) a=1+r
10、; x=100; For k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end,k=(0:200); n=200; r=-0.0324 b=5 y=fhsqh(n,r,b) plot(k,y),一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性,自然环境下,b=0 人工孵化条件下令xk=xk+1=x得差分方程的平衡点 k时，xkx,称平衡点是稳定的,高阶线性常系数差分方程,如果第k+1时段变量xk+1不仅取决于第k时段变量xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分方程来描述,一年生植物的繁殖,一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第
11、2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。,模型及其求解,记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。 设c , a1, a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 记第k年植物数量为xk，显然xk与xk-1, xk-2有关，由xk-1决定的部分是
12、 xk-1 Cba1, 由xk-2决定的部分是xk-2cb(1-a1)ba2,xk= a1bcxk-1 + a2b(1-a1)bcxk-2,实际上，就是xk= pxk-1 +qxk-2 ,我们需要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设x0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18-0.2这样可以用matlab计算了,xk= a1bcxk-1 + a2b(1-a1)bcxk-2,function x=zwfz(x0,n,b) c=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c; X(1)=x0; X(2
13、)=p*(x1); for k=3:n x(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2); end,xk= a1bcxk-1 + a2b(1-a1)bcxk-2,k=(0:20); y1=zwfz(100,21,0.18); y2=zwfz(100,21,0.19); y3=zwfz(100,21,0,20); pound(k,y1,y2,y3) plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,o), gtext(b=0.18),gtext(b=0.19),gtext(b=0.20),结果分析： xk= pxk-1 +qxk-2 (1) x1=px0 (2),对高阶差分方程可以寻求形如xk=k 的解。
14、代入(1)式得2-p -q=0称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表为 c1,c2 由初始条件x0, x1确定。,本例中，用待定系数的方法可以求出 b=0.18时,c1=95.64, c2=4.36 ， 这样实际上，植物能一直繁殖下去的条件是b0.191,线性常系数差分方程组,汽车租赁公司的运营 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例
15、分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。,0.6,0.3,A B CA B CA B C,假设在 每个租 赁期开 始能把 汽车都 租出去， 并都在 租赁期 末归还,0.1,0.7,0.2,0.1,0.6,0.3,0.1,模型及其求解,记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)(也是第k+1个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3),用矩阵表示用matlab编程，计算x(k),观察n年以后的3个城市的汽车数量变化情况,
