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1、,从数学思想方法的培养角度,审视小学数学竞赛的训练与辅导,一、小学数学教师为什么要进行这个主题的培训？,从学有余的学生角度思考1、培养学生学习数学的兴趣。 2、能提高学生学习成绩。 3、现行教育教学考核机制使“学有余的学生” 成了“弱视群体”。,从教师角度思考,1、教师的素质要求教师必须具有一定的专业知识水准。 2、现行学校教育教学现状中暴露出来的问题： 对于一些学生提出的数学问题，教师无法解答。 数学教学过程中重结果，轻过程，造成高分低能生。 3、小学数学教师考调之数学专业知识成绩中暴露出来的问题。,二、小学数学教师应该学习些什么专业知识内容？,1、要统涉整个小学数学教材体系与知识内容。（能
2、完全熟悉人教版的教材体系，适当涉及北师大、沪教版、苏教版等教材内容与体系） 2、要初涉初、高中数学教材体系与知识内容。 3、要认真钻研一些专业的数学思想与方法。 4、要针对本班学有余的学生实际制订合理的培养计划。,三、如何从用数学思想方法与策略解决数学竞赛题中得到培养？,数学基础知识与数学思想方法是数学教学的两条主线，数学基础知识是一条明线，写在书上；而数学思想与方法却是一条暗线，一般体现在知识的形成过程中。对于数学思想方法教学的重要性，日本数学家和教育家米山国藏曾经说道：绝大多数的学生在学校里所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而作为知识的数学，通常在出校门不到一两年就忘
3、掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用。可见数学思想与方法的培养的重要性。而数学思想与方法的培养除了结合现行小学数学教材的教学加以慢慢渗透之外，更直接、更快速的有效方法就是通过典型的小学数学竞赛题的辅导与训练来加以培养。,常用的数学思想方法：,数形结合的思想、函数的思想、方程的思想、代换的思想、统筹的思想、推理的思想、转化的思想、归纳的思想、分类讨论的思想、符号化的思想、赋值的思想、公理化的思想、整体化的思想、对应的思想、极限的思想、逐步调整的思想、构造的思想、枚举的思想、化归的思想、类比的思想等等。,、数形结合思
4、想,所谓数形结合的思想是指在研究问题的过程中，由数思形，由形思数，把数与形结合起来分析问题的思想方法。一般常用画线段图、示意图、以及实物演示等方式体现题中的数量关系，从而使我们更加形象、直观地理解题意或问题以及数量之间的联系。它的运用往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形完美结合的境地。华罗庚先生曾精辟的论述如下：“数缺形时少直观，形少数时难入微。切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离。”尤其是直角坐标系与几何的结合，是数形结合的完美体现。由形到数的转化，往往较明显，而由数到形的转化却需要转化的意识。因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由数到形的转化。一般来说，在理解题意的过程中，如果能够将数量
5、关系转化成线段图、示意图或实物实物演示，均可以考虑用数形结合的思想。,1、数形结合思想在教材中的具体应用。,数的表示和运算：如数和运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算。如摆小棒、画图形等。 解决问题中的形：如画线段图表示数量关系。数学广角中解决问题的一些直观策略。利用坐标系中的图像直观理解正比例关系等。 统计中的图形：如各种统计图表。 空间与图形中的数：如图形的周长、面积和体积公式。图形中边之间的关系。图形变换中的数，如坐标与变换。,2、数形结合思想在数学竞赛题中的具体应用。,在数学竞赛题中数形结合思想应用最多首推行程问题，特别是一些当相遇问题、追及问题、时间路程速度关系胶着
6、的问题等交织在一起的综合问题，由于问题难度大，情景繁杂，往往需要画图来帮助搞清各数量之间的关系，把综合问题分解成几个单一问题，逐次求解。现举几个案例加以阐述：先讲几个由数到形的案例。,案例1,两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1800米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发12分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟，两人与十字路口的距离再次相等。此时他们距十字路口多少米？分析与解：典型数学思想：数形结合思想、化归思想,案例1：两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1800米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发12分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟，
7、两人与十字路口的距离再次相等。此时他们距十字路口多少米？,分析与解：每分钟两人一共行 180012=150（米）每分钟两人行走的路程差是 180075=24（米）再由和差问题，可求出乙每分钟行（150-24）2=63（米）出发后75分钟距十字路口6375=4725（米）,案例2,小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？分析与解：典型数学思想：数形结合思想、假设代换思想 ,案例2：小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路
8、公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？,分析与解：假设小明在路上向前行走了63分钟后，立即回头再走63分钟，回到原地。这里取63，是由于7，9=63。这时在前63分钟他迎面遇到637=9（辆）车，后63分钟有639=7（辆）车追上他，那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车。 则发车的时间间隔为,案例3,甲、乙两人在长为30米的水池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从水池的两端出发，来回共游了11分钟，如果不计转向的时间，那么在这段
9、时间里，他们共相遇了多少次？分析与解：典型数学思想：数形结合思想、转化思想、函数思想 ,案例3甲、乙两人在长为30米的水池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从水池的两端出发，来回共游了11分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间里，他们共相遇了多少次？,分析与解：甲一个单程需301=30（秒），乙一个单程需300.6=50（秒）。则甲游5个单程，乙游3个单程，各自到了不同的两端又重新开始，这个过程的时间是150秒，即2.5分钟，其间，两人相遇了5次（见下图），实线与虚线的交点表示相遇点。以2.5分钟为一个周期，11分钟包含4个周期零1分钟，而在一个周期中
10、的第1分钟内，从图中可看出两人相遇2次，故一共相遇了54+2=22（次）。,模拟练习1,1.柳卡问题每天中午有一艘轮船由哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中均要航行七天七夜。且均沿同一航线航行。试问今天中午从哈佛开出的一艘轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的同一公司的轮船?（这是十九世纪在一次世界科学会议期间,法国数学家柳卡向在场的数学家们提出的一个问题,它难倒了在场的所有数学家,连柳卡本人也没有彻底解决。后来有一位叫斯图姆的数学家通过图解法,才使问题最终得到解决,你能想出来是怎样解决的吗？） 2. 甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙
11、快6千米，中午12点甲到达西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。问：东、西两村相距多远？,模拟练习1,3.甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，两人同向而行，甲26分钟赶上乙；两人相向而行，6分钟可相遇。已知乙每分钟行50米，求A，B两地的距离。 4.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？ 5.某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/时的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电
12、车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔发车，并以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？电车发车的时间间隔是多少？,模拟练习1,6.铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以30千米/时的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名工人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民。问：工人与农民何时相遇？ 7.小红从家到火车站赶乘火车，每小时行4千米，火车开时她还离车站1千米；每小时行5千米，她就早到车站12分钟。小红家离火车站多少千米？,分析与解：典型数学思想：数形结合思想、转化思想、归纳思想、建模思想、函数思想 ,数形结合思想在数学竞赛题中的应用范围很广，除了
13、前面讲的行程问题，还应用于工程问题、分数问题、比例问题、重叠问题、牛吃草问题等竞赛题中。甚至在等比是2的特殊数列求和中也有很好的体现。,分析与解：,模拟练习2,现在你找到规律了吗？和=首项2末项。不过此类题目要与用裂项法求若干个分数的和区别开来。如：,用数形结合的思想解决牛吃草的问题,一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？31065（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，而且草的数量也在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。 此类问题最典型的思维推理是：数形结合思想、假设的思想、转化思想、归纳思想、建模
14、思想,案例5,牧场上有一片牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。对于初中学生采用两元方程组求解可能也是一件麻烦事。那么小学生能理解吗？会解决吗？我想只要会解决行程中的相遇与追及问题的小朋友，通过数形结合的思想思考解决这类问题应该不难。下面我利用数形结合的思想分
15、析如下：（此类题目的关键就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。 ）,案例5牧场上有一片牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？,分析与解：假设1头牛1天吃的草为1份。可画出草图如下：,则10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。20015050（份），201010（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛
16、吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草（l05） 20100（份）或（155）10100（份）。现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100205（天）。则这片草地可供25头牛吃5天。,分析与解：,案例6,由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 分析与解：与案例5不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用案例5的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。,案
17、例6由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？,分析与解：假设1头牛1天吃的草为1份。画出草图后可知：20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草：（2010）5150（份）。由 1501015知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。 由于原草量不变，相当于总路程不变，通过画图分析观察，可化归为牛和天气相当于两辆不同时速的车从两边相向行驶，最后相遇的相遇问题。,
