计量经济学第七章

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1、1,第七章 ARMA模型应用,第一节 ARMA模型概述 第二节 随机时序的特性分析 第三节 模型的识别与建立 第四节 模型的预测 第五节 序列相关与ARMA模型,引言,对时间序列Yt的变动进行解释或预测 单一方程回归模型 联立方程回归模型 上面两类模型均称为结构式模型 以因果关系为基础 具有一定的模型结构,2,引言（续1）,若Yt波动的原因是无法解释的因素 如气候、消费者偏好的变化等 则用结构式模型解释Yt变动就较为困难或不可能 要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的 即使估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的

2、未来值更困难 因此，因果关系模型及其预测技术就不适用了,3,引言（续2）,采用另一条预测途径 通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论 进而对时序未来行为进行推断,4,5,引言（续3）,ARMA模型的提出 由Box、Jenkins创立，亦称B-J方法 是一种精度较高的时序预测方法ARMA模型基本思想 某些时序是依赖于时间t 的一簇随机变量，构成该时序的单个序列值虽然不具有确定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述 通过对该数学模型的分析研究，能够更本质的认识时序的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测,6,第一节 ARMA模型概述,自回归模型 移动平均

3、模型 自回归移动平均模型,7,8,自回归模型,自回归模型 若时序yt 是它的前期值和随机项的线性函数则称该时序yt 是自回归序列，(1)式为p阶自回归模型，记为AR(p) 实参数 称为自回归系数，是待估参数 随机项ut 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为 的正态分布 随机项与滞后变量yt-1 ,yt-2 ,yt-p不相关 不失一般性，在(1)式中假定序列yt 均值为0 若 ，则令 可将 写成(1)式的形式,9,自回归模型（续）,AR(p)模型 记Bk为k步滞后算子，即 则(1)式可表示为令则模型可简写为AR(p)过程平稳的条件 滞后多项式 的根均在单位圆外，即的根大于1,10,移动

4、平均模型,移动平均模型 若时序yt 是它的当期和前期的随机误差项的线性函数则称该时序yt 为移动平均序列，(3)式为q阶移动平均模型，记为MA(q) 实参数 为移动平均系数，是待估参数MA(q)模型 引入滞后算子，并令则模型(3)可简写为,11,移动平均模型（续1）,MAAR MA过程无条件平稳 但通常希望AR过程与MA过程能相互表出，即过程可逆 则要求滞后算子 的根都在单位圆外MA(q)模型的逆转形式其中， ，其他权重 可递推得到 其等价于无穷阶的AR过程,12,移动平均模型（续2）,ARMA AR(p)模型的逆转形式 (2)式满足平稳条件时，可改写为其中， 其等价于无穷阶的MA过程,13,

5、自回归移动平均模型,自回归移动平均模型 若时序式它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数则称该序列是自回归移动平均序列，(4)式为(p, q)阶的自回归移动平均模型，记为ARMA(p, q)为自回归系数， 为移动平均系数，都是模型的待估参数,14,自回归移动平均模型（续）,ARMA(p,q)模型 AR(p)和MA(q)都是ARMA(p,q)的特例 若q=0，则ARMA(p,q) AR(p) 若p=0，则ARMA(p,q) MA(q) 引入滞后算子B，模型(4)可简写为ARMA过程平稳的条件 滞后多项式 的根均在单位圆外 ARMA过程可逆的条件 滞后多项式 的根都在单位圆外,15,第二节

6、随机时序的特性分析,时序特性的研究工具 时序特性分析,16,时序特性的研究工具,自相关 构成时序的每个序列值yt ,yt-1 ,yt-k之间的简单相关关系称为自相关 自相关程度由自相关系数rk 度量 表示时序中相隔k期的观测值之间的相关程度其中，n是样本量；k为滞后期； 代表样本数据的算术平均值，且|rk|越接近1，自相关程度越高,17,时序特性的研究工具（续1）,偏自相关 指对于时序yt ，在给定yt-1 ,yt-k+1的条件下， yt 与yt-k 之间的条件相关关系 相关程度用偏自相关系数度量其中，rk 是滞后k期的自相关系数,18,时序特性的研究工具（续2）,自(偏自)相关分析图 实际应

7、用中，应综合考察序列的自相关与偏自相关将时序的自(偏自)相关系数绘制成图，并标出一定的随机区间，称为自(偏自)相关分析图是对时序进行自(偏自)相关分析的主要工具,19,时序特性的研究工具（续3）,操作 最大滞后阶数k的选择 一般，k取n/10或n/4 考察季节数据时，取季节周期长度的整数倍 输出结果 左半部分是序列的自相关和偏自相关分析图 右半部分包括五列数据 第一列的自然数表示滞后期k AC是自相关系数，PAC是偏自相关系数 最后两列是对序列进行独立性检验的Q统计量和相伴概率,20,时序特性分析,随机性 概念 若时序是纯随机的，意味着序列没有任何规律性，序列诸项之间不存在相关，即序列为白噪声

8、序列 其自相关系数应该与0没有显著差异判断方法 利用自相关分析图，其中给出了显著性水平=0.05时的置信带 自相关系数落入置信区间内表示与0无显著差异 若几乎所有自相关系数都落入随机区间，可认为序列是纯随机的,21,时序特性分析（续1）,平稳性 概念 若时序yt 满足 对任意时间t，其均值恒为常数 对任意时间t和s，其自相关系数只与时间间隔t-s有关，而与t和s的起始点无关 则该时序称为平稳时序 直观的讲 平稳时序的各观测值围绕其均值上下波动 且该均值与时间t无关，振幅变化不剧烈 判断方法 若序列的自相关系数很快的(滞后阶数k大于2或3时)趋于0，即落入随机区间，则时序是平稳的,22,时序特性

9、分析（续2）,季节性 概念 指在某一固定的时间间隔上，序列重复出现某种特性 一般的，月度资料的时序，其季节周期为12个月；季度资料的时序，其季节周期为4个季度 判断标准 月度数据，考察k=12,24,36,时的自相关系数是否与0有显著差异 季度数据，考察k=4,8,12,时的自相关系数是否与0有显著差异,23,时序特性分析（续3）,注意 只有平稳时序才能建立ARMA模型 否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求 若原序列yt 非平稳，经过d 阶逐期差分后平稳，则新序列zt 称为齐次(homogeneous)序列，记为平稳序列zt 可建立ARMA模型，原序列yt 可表示为ARIMA(p,d,q)

10、模型,24,时序特性分析（续4）,注意（续） 差分法并非万能的，且存在明显的缺点 存在很多时序不能通过差分而平稳 差分虽能消除某些序列的趋势而易于建模，但同时也消除了原序列的长期特征，会丢失某些信息 实际的经济时序差分阶数d 一般不超过2季节性和趋势同时存在时 必须事先剔除序列趋势性再识别序列的季节性 否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误,25,时序特性分析（续5）,例7-1 下表中，序列zt表示1994年1月至1998年12月经居民消费价格指数调整的中国城镇居民可支配收入时间序列。用自相关分析图识别序列的季节性 为减小序列波动，对序列zt作自然对数变换，记新序列为lzt,26,时序特性

11、分析（续6）,作序列lzt的折线图由图可知，1994-1998年我国城镇居民人均可支配收入水平总体呈上升趋势，且每年二月的观测值都远大于相临月份，表现出明显的季节波动,27,时序特性分析（续7）,绘制序列lzt的自相关分析图 由图可知，序列的自相关系数没有很快趋于0，说明序列是非平稳的 正好与折线图显示的上升趋势一致则由自相关图很难看出序列是否具有季节性，需对原序列进行逐期差分，以消除趋势 经过差分的新序列为dlzt,28,时序特性分析（续8）,绘制序列dlzt的自相关分析图 与上图相比，经过一阶逐期差分的序列趋势已基本消除但滞后期k=12时序列自相关系数是0.597，大大超出了随机区间的范围

12、，与0有显著差异 表明序列有周期为12个月的季节波动,29,时序特性分析（续9）,一般的 包含季节性的时序也不能直接建立ARMA模型，需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致 上例中，对dlzt 进行一阶季节差分可表示为若序列yt 经过D阶周期长度为s 的差分，季节性基本消除，新序列wt 可表示为,30,时序特性分析（续10）,ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型 若序列在季节差分之前还进行了d阶的逐期差分才平稳，则可对原序列建立ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型其中，P是季节自回归阶数，Q是季节移动平均阶数，且分别称 和 为季节P阶自回归算子和Q阶移动平均算

13、子,31,时序特性分析（续11）,例7-2续例7-1，绘制一阶逐期差分和一阶季节差分后的城镇居民人均可支配收入序列sdlzt 的自相关分析图,32,第三节 模型的识别与建立,自相关函数与偏自相关函数 模型的识别 模型的参数估计 模型的检验,33,自相关函数与偏自相关函数,MA(q)的自相关与偏自相关函数 模型 自相关函数的截尾性自相关函数的截尾性 序列的自相关函数k在kq以后全部是0 有利于识别移动平均过程的阶数q 偏自相关函数的拖尾性 序列的偏自相关函数随着滞后期k的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0,34,自相关函数与偏自相关函数（续1）,AR(p)的自相关与偏自相关函数 模型 偏自相

14、关函数的截尾性序列的偏自相关函数kk 是p步截尾的，即当kp时，kk 的值是0 有利于识别自回归模型和确定阶数p 自相关函数的拖尾性 序列的自相关函数呈现指数或者正弦波衰减,35,自相关函数与偏自相关函数（续2）,ARMA(p,q)的自相关和偏自相关函数 较为复杂 可证明，它们均是拖尾的,36,模型的识别,例7-3序列pt是某国1960-1993年GNP平减指数的季度时间序列，要求对平稳序列iilpt( )进行模型识别 将序列命名为p 对序列取对数后进行逐期差分，新序列命名为iilp，即,37,模型的识别（续1）,绘制序列iilp的线图由上图可知，序列基本已平稳，且均值为0,38,模型的识别（

15、续2）,绘制序列iilp的自相关(偏自相关)分析图 由图可知 偏自相关系数在k=2后很快趋于0，则取p=2 自相关系数在k=3时似乎也与0有显著差异，可考虑q=1或q=2则序列iilp可建立ARMA(2,1)或 ARMA(2,2)模型,39,模型的参数估计,参数估计 采用非线性方法 MA模型的参数估计相对困难 尽量避免使用高阶的移动平均模型 或包含高阶移动平均项的ARMA模型,40,模型的参数估计（续1）,例7-4续例7-3，对序列iilpt建立ARMA(2,1)和ARMA(2,2)模型 可利用窗口菜单或命令方式建立模型 ar(i)(i=1,2,)代表模型中的自回归部分 ma(j)(j=1,2

16、,)代表模型中的移动平均部分选择模型的重要标准 对参数t检验显著性水平的要求不像回归方程中那么严格，更多的是考虑模型整体拟合效果 则调整后的决定系数、AIC和SC准则都是选择模型的重要标准,41,模型的参数估计（续2）,建立模型 ARMA(2,1)模型 滞后多项式的倒数根落入单位圆内，满足过程平稳的基本要求 调整后的决定系数为0.387795 AIC和SC值分别为-7.769828和-7.704310ARMA(2,2)模型 滞后多项式的倒数根落入单位圆内，满足过程平稳的基本要求 调整后的决定系数为0.384768，小于上模型 AIC和SC值分别为-7.7575和-7.6702，大于上模型则可以认为ARMA(2,1)模型更合适,