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1、2018/9/28,2-1,第三章 误差分析与试验数据处理,3.1 基本概念 3.2 误差分析 3.3 试验数据处理,2018/9/28,3.1.1. 基本概念 真值：客观上存在的某个物理量的真实值。X 测量值：实验测量得到的某个物理量的数值。x 平均值：n次测量的平均值。误差：测量值与真值之差。,3.1 基本概念,3.1.2.误差与正确度,绝对误差: 测量值与真值之差，表测定结果的正确度。 正确度: 测量值的均值与真值接近的程度。正确度高，说明测量值接近真值的程度好，即系统误差小。 相对误差：误差与真实值之比。,相对误差越大，正确度越低。,2018/9/28,3.1.3.偏差与精密度,偏差：
2、测量值与平均值之差，表征测定结果的精密度。 精密度：各测量值之间的相互接近程度（离散程度）。 精密度高重复性好 误差分布密集 随机误差小。,标准误差,偏差,算术平均误差,反映测量值在平均值附近的分散和偏离程度。,2018/9/28,A 正确定低，精密度高,精确度：是对测量数据的精密度和正确度的综合评定。精确度高，说明测量数据比较集中而且靠近真值。即测量的随机误差与系统误差都比较小。,B 正确定低，精密度低,C 正确定高，精密度高,2018/9/28,3.1.4.误差的分类 粗大误差：表现：出现和分布无规律，数值反常，范围局限等。 系统误差：测量过程中按某种规律变化或数值恒定不变的误差。表现：相
3、同符号，对结果有累积影响，周期性出现等。产生原因：仪器误差、条件误差、方法误差、力学模型的误差、实验者的主观因素。 随机误差：表面上看无规律，但测量次数多了以后，服从正态分布。,2018/9/28,3.2.1 随机误差的分布 对于大量重复测定，测量值的随机误差服从正态分布。,3.2 误差分析,2018/9/28,1）单峰值，小误差出现概率大。 2）对称性，大小相等符号相反的误差出现概率相等。 3）抵偿性，测量次数趋于无穷，各误差代数和趋于零。 4）有限性，大误差出现概率非常小，一般不出现。,随机误差正态分布曲线特点：,2018/9/28,在-3,3内概率为99.73%,370次测量1次大于3，
4、 在-2,2内概率为95.44%,22次测量1次大于2， 在-,内出现概率为68.3%。 一般情况下，99.7可认为代表多次测量的结果，因此3称为极限误差或最大误差。,2018/9/28,3.2.2.可疑数据的取舍,1.拉依达准则（3方法） 在多次测量中，随机误差大于3的测量数据出现的概率仅为0.0027，因此，在测量次数足够多时（n20）,若某个测量值xi的偏差满足则认为xi具有粗大误差，应剔除。,此准则允许误差比较大，舍弃的数据少，精度不高。,2018/9/28,进行n次测量，随机误差服从正态分布，以概率1/2n去设定一个判别范围-c, c,当某数据满足即误差出现概率小于1/2n时，此数据
5、应剔除。,其中c由肖维纳准则数据表查得。差别范围由下式定：,2.肖维纳（Chauvenet）准则,2018/9/28,肖维纳准则数值表,具体步骤： 求出测量数据的算术平均值和标准误差。 计算某数据的偏差与标准误差之比。 根据肖维纳准则数值表，如果某数据的偏差与标准误差的比值大于表中的c值时，则可舍掉这一数据。,2018/9/28,当样本容量较小时，以t分布的格拉布斯方法进行鉴定。按危险率和子样容量n求T(n,) ，如某数据满足则该数据剔除。,通常怀疑最大和最小数据是异常的，其具体方法如下： 选定危险率。 计算随机变量T值。 查格拉布斯方法表中相应的T(n,)值。 如TT(n,) ，则该数据舍弃
6、。,3.格拉布斯(Grubbs)准则,2018/9/28,格拉布斯方法T(n,a)值表,2018/9/28,解：1.求算术平均值，标准误差,格拉布斯准则：n=10, 取=5.0%，查表得T(n,)=2.18数据全部保留。,肖维纳准则：查表，n=10时，c=1.96。可见数据48.9应舍去。,例2:试用三种方法对测量数据进行取舍。,3.判别：三种方法 3方法:若符合 ，舍弃。d43.36 , 保留。,2.计算最大偏差 d4=48.9-46.5=2.4,2018/9/28,按方法2舍弃后重新计算，则,此时最大数据的偏差为 查表，n=9时，c=1.92， 所以其余数据全部保留。,注意：数据舍弃，每次
7、只舍弃一个数据。先舍弃偏差最大的一个，再进行判断运算，逐次进行舍弃，直至满足准则要求为止。,算术平均值 标准误差,2018/9/28,3.2.7.误差的传递,主要有两大类问题： 已知直接测量值的误差，求间接测量值的误差。即已知自变量的误差求函数的误差。 给定间接测量值的误差，求各直接测量值允许的最大误差。即已知函数的误差求自变量的误差。,2018/9/28,1.已知自变量的误差求函数的误差1).误差传递一般公式,函数y=f(x1,x2,xn)，其中x1,x2,xn为n个直接测量的物理量。令x1,x2,xn分别代表x1,x2,xn的误差,y代表由x1,x2,xn引起的y的误差，则:,绝对误差相对
8、误差,将上式右端按Taylor级数展开，并略去二阶以上微量得：,2018/9/28,常用函数的系统误差合成,1).和差函数的合成误差设 y=x1x2y+ y =(x1+ x1)(x2+x2 ) 绝对误差：y = x1 x2 当x1和x2 的符号不能确定时，有：y=(|x1| |x2|),相对误差：,2018/9/28,对于和函数：,对于差函数：,例题：R1=1k， R2=2k， 相对误差均为5%，求串联后的总相对误差。,2018/9/28,2).积函数的合成误差,设y=x1x2 ，绝对误差：,相对误差：,若x1、x2都有正负号：,2018/9/28,如果量测次数为n，对于第i次则有：,2).误
9、差传递的标准误差公式,相对标准误差：,将n次测量结果两边平方后求和，由于正负误差出现的概率相等，当n足够大时，非平方项可对消，可得：,两边同乘以1/n-1再开方得标准误差：,2018/9/28,2.已知函数的误差求自变量的误差,用等效传递原理，设各自变量对函数影响相等。,一般传递公式,标准误差传递公式,2018/9/28,例：如图所示的悬臂梁，要求测量应力的误差不大于2%，问各被测量P、l、b、h允许多大误差？,解：梁的正应力公式：,2018/9/28,3.2.8. 有效数字及运算法则,1.有效数字 实际测定的数值包含一位不定数字(可疑数字)。 有效位数： 从数值左方非零数字算起到最后一位可疑
10、数字，确定有效位数的位数. 可疑数字： 通常理解为，它可能有1或0.5单位的误差(不确定性),例：1.0008；0.010001；45371 为五位；3.6103为二位20.00，0.02000为四位；0.002；210-3 为一位,2018/9/28,2.数字修约规则:四舍六入五成双,1).当尾数修约数为五时，前数为偶则舍，为奇则进一成双；若5后有不为0的数，则视为大于5，应进。 例：修成四位10.235010.2418.085118.09,2).修约一次完成，不能分步。 例：8.5498.5 8.5498.558.6是错的,2018/9/28,3.运算规则：误差传递规律,1).加减法：各数
11、的小数点后所保留的位数应和所给各数中小数点后面位数最少的相同。,例 50.1+1.45+0.5802=52.150.1 50.11.4 1.450.6【对】 0.5802 【错】 52.1 52.|1312|无意义,2018/9/28,2).乘除法：由相对误差最大的数值位数或有效数字位数最少的决定,例 0.012125.641.05872=0.328相对误差的比较： 0.0121 Er=0.8% -最大 25.64 Er=0.04% 1.05782 Er=0.0009%有效位数最小 3位0.012125.61.06=0.328,2018/9/28,列表法将实验数据制成表格。它显示了各变量间的对
12、应关系，反映出变量之间的变化规律。它是进一步处理数据的基础。 图示法将实验数据绘制成曲线，它直观地反映出变量之间的关系，而且为整理成数学模型（方程式）提供了必要的函数形式的直观表达。 方程表示法借助于数学方法将实验数据按一定函数形式整理成方程，即数学模型。,3.3 试验数据处理,2018/9/28,3.3.1.列表法 在试验中一系列测量数据都是首先列成表格，然后再进行其他的处理。 列表法的特点： 列表法简单方便，形式紧凑，条理清楚，易于比较。 尽管测量次数相当多，也不能给出所有的函数关系。 从表格中不易看出自变量变化时函数变化规律，只能大致估计出函数是递增、递减或是周期性变化的等。 列成表格是
13、为了表示出测量结果，或是为了以后的计算方便，同时也是图示法和经验公式法的基础。,2018/9/28,表格的种类： 数据汇总表是该项试验检测的原始记录表，包括有试验检测目的、内容摘要、试验日期、环境条件、检测仪器设备、原始数据、测量数据、结果分析以及参加人员和负责人等。 关系表只反映试验检测结果的最后结论，一般只有几个变量之间的对应关系。试验检测结果表应力求简明扼要，能说明问题。,2018/9/28,数据汇总表,2018/9/28,列表法的基本要求： 1).应有简明完备的名称、数量单位和因次； 2).数字写法要整齐统一，数据排列整齐（小数点）； 3).有效数字的位数应相同； 4).采用公认的代表
14、符号； 5).选择的自变量，如时间，温度、浓度等，应按递增排列； 6).如需要，将自变量处理为均匀递增的形式，这需找出数据之间的关系，用拟合的方法处理； 7).注明数据来源及测试条件。,2018/9/28,3.3.2.图示法 图示法特点： 1).图示法的最大优点是一目了然，即从图形中可非常直观地看出函数的变化规律，如递增性或递减性，是否具有周期性变化规律等。 2).在图上进一步处理获得更多信息。如：最大值、最小值，作出切线，求出曲线下包围的面积，进行积分、微分运算等。 3).只能得到函数变化关系而不能进行数学分析。,2018/9/28,曲线图,直方图,2018/9/28,2-36,曲线图,20
15、18/9/28,2-37,直方图,2018/9/28,2-38,曲线图结构组成 1. 标题（Legend） 标题一般位于表的下方。Figure可简写为“Fig.”，按照图在文章中出现的顺序用阿拉伯数字依次排列（如Fig.1，Fig.2）。 对于复合图，往往多个图公用一个标题，但每个图都必须明确标明大写字母（A，B，C等），在正文中叙述时可表明为“Fig. 1A”。复合图的标题也必须区分出每一个图并用字母标出各自反映的数据信息。,2018/9/28,2-39,2. 轴标（Axis Label） 对于含有横轴、纵轴的统计图，两轴应有相应的轴标，同时注明单位。 3. 数轴（Number axis）
16、数轴刻度应等距或具有一定规律性（如对数尺度），并标明数值。横轴刻度自左至右，纵轴刻度自下而上，数值一律由小到大。一 般纵轴刻度必须从“0”点开始（对数图、点图等除外）。 4. 图标（Symbol and Key to Symbols） 图中用不同线条、图像或色调代表不同事物时，应该用图标说明，图标应该清晰易分辨。,2018/9/28,曲线图的基本要点： (1)每个曲线应该有一个横坐标和一个或若干个纵坐标，坐标都应有名称；坐标的形式、比例和长度根据数据的范围决定。 (2)通常取横坐标作为自变量，取纵坐标作为因变量，一个自变量与一个因变量可组成一条曲线，一个曲线图中可有若干条物线。 (3)有若干条曲线，用不同线型(实线、虚线、和点线等)或用不同的标记(+、口、x等)或文字区别。 (4)如需对曲线内容说明，可在图中加上注解。 (5) 以试验数据位根据，通常用关系表画图。,
