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1、第第 1 节节：相似形与相似三角形：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。1几个重要概念与性质（几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知 abc, A D aB E bC F c可得 等.EFBCDEABDFEFACBCDFEFABBCDFDEACABEFDEBCAB或或或或（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例
2、. AD EB C由 DEBC 可得：.此推论较原定理应用更加广ACAE ABAD EAEC ADBD ECAE DBAD或或泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。比例线段：四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即，那么这四条
3、线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段。ba dc2比例的有关性质比例的有关性质比例的基本性质：如果，那么 ad=bc。如果 ad=bc（a，b，c，d 都不等于 0） ，dc ba那么。dc ba图 2ABCDE合比性质：如果，那么。dc baddc bba等比性质：如果=(b+d+n0)，那么dc banmba ndbmcab 是线段 a、d 的比例中项，则 b2ad.典例剖析典例剖析 例例 1 1： 在比例尺是 1：38000 的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约 7cm，则它的实际长 度约为_Km. 若 ba=32则bba =_. 若 baba 22=59则 a：b=_.3相
4、似三角形的判定相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。（3）三边对应成比例的两个三角形相似。补充：相似三角形的识别方法补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本图形，(简记为 A 型，X 型)(3)三边对应成比例的两个三角形相似。(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。(5)两角对应相等的两个三角
5、形相似。(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。【基础练习】 （1）如图 1，当 时，ABC ADE （2）如图 2，当 时， ABC AED。 （3）如图 3，当 时， ABC ACD。ABCDEABCDE图 1ABCDE图 3AB CD小结：以上三类归为基本图形：母子型或 A 型 （3）如图 4，如图 1，当 ABED 时，则 。 （4）如图 5，当 时，则 。小结：此类图开为基本图开：兄弟型或 X 型典例剖析典例剖析例例 1 1：判断所有的等腰三角形都相似 （ ）所有的直角三角形都相似 （ ）所有的等边三角形都相似
6、 （ ）所有的等腰直角三角形都相似 （ ）例例 2 2：如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 AD 于 E,交 BC 的延长线于 F求证： ABF CAF.EFDCBADCBACBEADCBDAE例例 3 3：如图：在 Rt ABC 中， ABC=90，BDAC 于 D，若 AB=6 ；AD=2； 则AC= ；BD= ；BC= ；例例 3 3：如图：在 Rt ABC 中， ABC=90，BDAC 于 D ，若 E 是 BC 中点，ED 的延长线交 BA 的延长线于 F，求证：AB : AC=DF : BF第二节：相似三角形的判定第二节：相似三角形的判定(一)相似三角
7、形：定义 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形 温馨提示：当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条 对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一 不可；相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； 对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。 两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。 2、相似三角形对应边的比叫做相似比 温馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比 k=1所以全等三角形是相似三角形的特 例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如AB
8、CABC的对应边的比，即相似比为 k，则ABCABC 的相似比，当且仅当它们全等时，才有 k=k=1相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大 或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似 多边形 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形 的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似 温馨提示：定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DEBC，ABCADE；FDECBA这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定
9、理它不但本身有着 广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行， 想相似” (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似 温馨提示：有平行线时，用上节学习的预备定理；已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理 1 或判 定定理 2； 已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理 2 或判定定理 3但是，在选择利用 判定定
10、理 2 时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等 例 1.如图三角形 ABC 中，点 E 为 BC 的中点，过点 E 作一条直线交 AB 于 D 点，与 AC 的延长线将于 F 点，且 FD=3ED，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似 温馨提示：由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找 一对对应角相等，用判定定理 1，或两条直角边对应成比例，用判定定理 2，一般不用判定 定理 3 判定两个直角三角形相似；如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三 角形”，其应用较为广泛
11、如图，可简单记为：在 RtABC 中，CDAB，则ABCCBDACD直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB CD2=AD*BD BC2=BD*AB总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功通常有 以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形 中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角 所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应 角；对应边所夹的角是对应角 2、常见的
12、相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方 法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角 形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如：(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图 “见平行，想相似”是解这类题的基本思 路；(2)“相交线型”相似三角形，如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角 “见一对等 角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图若图中1=2，B=D(或C=E)，则ADEABC，该图可看成把第一个图中的ADE 绕点 A 旋转某一角度而
13、形成的第三节 相似三角形中的辅助线相似三角形中的辅助线一、作平行线一、作平行线 例 1. 如图，的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 ADAE，DE 延长线与ABCBC 延长线相交于 F，求证：BF CFBD CEB D A C F E 例 2. 如图，ABC 中，ABAC，在 AB、AC 上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相 交于点 F，证明：ABDF=ACEF。二、作垂线二、作垂线 例 3. 如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF，垂足分别为 E、F，求证：。2ACAFADAEABABCFDE三、作延长线三、作延长线例 4.
14、 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，若BCD 的平分线 CHAB 于点H，BH=3AH，且四边形 AHCD 的面积为 21，求HBC 的面积。例 5. 如图，RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC于 F，FGAB 于 G，求证：FG =CFBF2四、作中线例 6 如图，中，ABAC，AEBC 于 E，D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求ABC AC。五、过渡法（或叫代换法）五、过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类 型有三种，下面分情况说明 1、 等量过渡法（等线段代换法）等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的 同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组
