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1、一元二次方程及其解法（一）一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法特殊的一元二次方程的解法知识讲解（提高）知识讲解（提高）【学习目标学习目标】 1理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念要点一、一元二次方程的有关概念 1 1一元二次方程的概念：一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元
2、二次方程 要点诠释：要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最 高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2 2一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 要点诠释：要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏 掉前面的性质符号.3.3.一元二次方
3、程的解：一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.4.一元二次方程根的重要结论一元二次方程根的重要结论（1）若 a+b+c=0,则一元二次方程必有一根 x=1；反之也成立，即若 x=1是一元二次方程的一个根，则 a+b+c=0.（2）若 a-b+c=0,则一元二次方程必有一根 x=-1；反之也成立，即若 x=-1 是一元二次方程的一个根，则 a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根 x=0，则 c=0；反之也成立，若 c=0，则一元二次方程必有一根为 0.要点二、特殊的一元二次方程的解法要点二、特殊的一元二次方程的解法 1
4、1直接开方法解一元二次方程：直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则 x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：要点诠释： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数 的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直
5、接开平方求这个方程的根.2.2.因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 将方程右边化为 0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. . （2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. .要点诠释：要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个 等于 0； （3）用
6、分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为 0；方程两边不能同时除 以含有未知数的代数式.【典型例题典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定类型一、关于一元二次方程的判定1判定下列方程是否关于 x 的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数 a 都有 a20，于是都有 a2+20，由此可知 a2+20，所以可以判定：对任何实数 a，它都是一个一元二次方程(2)经整理，得它的一般形式(m2-1)x2+
7、(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当 m1 且 m-1 时，有 m2-10，它是一个一元二次方程；当 m=1 时方程不存在，当 m=-1 时，方程化为 4x=0，它们都不是一元二次方程【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行 研究讨论时，必须确定对参数的限制条件如在第(2)题，对参数的限定条件是 m1例如，一个关于 x 的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0 的形式，仅当 m-40，即 m4 时，才是一元二次方程(显然，当 m=4 时，它只是一个一元一次方程 4x-3=0)又如，当我们说：“关于 x 的一元二次方程(a-1)x2
8、+(2a+1)x+a2-1=0”时，实际上就给出了条件“a-10” ，也就是存在一个条件“a1” 由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件” 类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2. 已知关于 y 的一元二次方程 m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数 m 的取值范围【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m2-80，即 m可知它的各项系数分别是a=m2-8(m)，
9、b=-(3m-1)，c=m3-1参数 m 的取值范围是不等于的一切实数【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题举一反三：举一反三：【变式变式】关于 x 的方程的一次项系数是-1，则 a . 【答案】原方程化简为 x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）类型三、一元二次方程的解（根）3.已知 m，n 是方程2210xx 的两根，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)8，则 a 的值等于 ( )A-5 B5 C-9 D9 【答案】C； 【解析】根据方程根的定义，m，n 是方程 x2-2x-10 的两根， m
10、2-2m-10，n2-2n-10 变形可得：7m2-14m7，3n2-6n3将变形后的式子代入已知等式中可得：(7+a)(3-7)8， 解得 a-9 【总结升华】当看到式子很复杂，别着急，注意与已知条件联系，运用根的定义，注意观察已知等式 的特点，将 7m2-14m 与 3n2-6n 看作整体，运用整体代入法求解举一反三：举一反三：【变式变式】 （1）x=1 是的根，则 a= .（2）已知关于 x 的一元二次方程 22(1)210mxxm 有一个根是 0，求 m 的值.【答案】 （1）当 x=1 时，1-a+7=0,解得 a=8.（2）由题意得类型四、用直接开平方法解一元二次方程类型四、用直接
11、开平方法解一元二次方程4.解方程(x-3)2=49【答案与解析】把 x-3 看作一个整体，直接开平方，得x-3=7 或 x-3=-7由 x-3=7，得 x=10由 x-3=-7，得 x=-4所以原方程的根为 x=10 或 x=-4【总结升华】应当注意，如果把 x+m 看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n0)的方程就可看作形如 x2=k的方 程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根所以，(x+m)2=n 可成为任何一元二次方程变形的目标举一反三：举一反三：【变式变式】解方程： (1)(3x+1)2=7； (2) 9x
12、2-24x+16=11.【答案】(1)解：(3x+1)2=7 (3x+1)2=53x+1= (注意不要丢解)x=原方程的解为 x1=， x2=.(2)解：9x2-24x+16=11(3x-4)2=113x-4=x=原方程的解为 x1=， x2=.类型五、类型五、因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程5解方程：(x+1)2-2(x+1)(2-x)+(2-x)20 【答案与解析】 设 x+1m，2-xn，则原方程可变形为：2220mmnn (m-n)20， mn，即 x+12-x 121 2xx【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐观察题目结构，可将 x+1
13、看作 m，将(2-x)看作 n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可 解举一反三：举一反三：【变式变式】方程(x-1)(x+2)2(x+2)的根是_【答案】 将(x+2)看作一个整体，右边的 2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解即(x-1)(x+2)-2(x+2)0，(x+2)(x-1)-20 (x+2)(x-3)0， x+20 或 x-30 x1-2 x236如果2222()(2)3xyxy，请你求出22xy的值【答案与解析】设22xyz， z(z-2)3整理得：2230zz， (z-3)(z+1)0 z13，z2-1 220zxy， z-1(不合题意，舍去) z3即22xy的值为 3【总结升华】如果把22xy视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程此题看似求 x、y 的值，然后计算22xy，但实际上如果把22xy看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设22zxy再求 z 值，从而求出22xy的值实际就是换元思想的运用易错提示:忽视220xy，而得223xy或221xy
