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1、第三章第三章 热传导方程的分离变量法热传导方程的分离变量法第 1 页 共 12 页数学物理方法数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院西北师范大学物理与电子工程学院豆福全豆福全第三章 热传导方程的分离变量法2第三章第三章 热传导方程的分离变量法热传导方程的分离变量法 引引 言言上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究，它的研究包括从方程的导出到应用行波法。本章我们对抛物型方程以热传导方程为代表进行研究。复习：数理方程的导出步骤（数理方程的导出步骤（） 定量化物理模型数学模型 建坐标系建坐标系 选物理量选物理量u 找物理规律找物
2、理规律 写表达式写表达式本章，我们先对热传导进行推导。本章，我们先对热传导进行推导。3.1 热传导方程热传导方程3.1.1 热传导方程的导出热传导方程的导出1. 物理模型物理模型截面积为均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求热量的流动。A2.相关概念和定律相关概念和定律相关概念相关概念热传导热传导：由于温度分布不均匀产生的热传递现象。设热量： 面积： 体积：QSV时间： 密度： 温度：，tT比热比热：单位物质，温度升高一度所需热量QCVT热流密度热流密度：单位时间流过单位面积的热量（Fourier 实验定律），：导热率QuqtSn 热源强度热源强度：单位时间，单位体积放出的热量（热源密度）Q
3、ftV用到的物理学规律用到的物理学规律第三章 热传导方程的分离变量法3 Fourier 实验定律实验定律(热传导定律热传导定律)：当物体内存在温度差时，会产生热量的流动。热流强度（热流密度）与温度的下降成正比。即。qqu ：热导系数（热导率） ，不同物质不同，。对均匀杆是常, x u数。负号表示温度下降的方向。分量形式： ，xuqx yuqy zuqz 一维问题：uqn 热量守恒（质量）定律热量守恒（质量）定律：物体内部温度升高所吸收的热量（浓度增加所需要的质量） ，等于流入物体内部的净热量（质量）与物体内部的热源所产生的热量（质量）之和。3 分析分析研究的问题: 热流流动是由温差造成,设为温
4、度.u已知：，常数 C是一维问题,uu x t4 研究建立方程研究建立方程取轴与细杆重合，表示在点 时刻的温度。x,u x txt考虑任一段在时间热量情况xt流入面：x1 xuQA tx 流出面：xx2 xxuQA tx 热源产生：设有热源其密度为，杆内热源在段产生的热量,f x tx为3,Qf x t A x t 段温度要升高所吸收的热量xuQ第三章 热传导方程的分离变量法4QCA x u ,CA x u x ttu x t 根据能量守恒定律流入段总热量与段中热源产生的热量xx123QQQQ即 ,CA x u x ttu x t,xxuxx tux tA tfA x t 两边同除以 1 A
5、x t ,u x ttu x tCt,xxuxx tux tfx当，时，0x 0t txxCuuf， 其中，txxuDufDC FfC同理 ，二维热传导方程为 txxyyuD uuf三维热传导方程为 txxyyzzuD uuuf或 tuD uf 或 2 tuauf 3.1.2 定解条件定解条件初始条件初始条件 ,0u xx 边界条件提法有三种边界条件提法有三种第一类边界条件：第一类边界条件：直接给出物理量在边界上的数值（边界上各点的温度） 。， 10,utt 2,u l tt， 10,xu x tt 2,x lu x tt第二类边界条件：第二类边界条件：研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数
6、第三章 热传导方程的分离变量法5值。， 1 0xuv tx 2 x luvtx或 ， 10,xxux tv t 10xxuv t已知通过细杆端点的热量，特殊情形 如 绝 0v t ,0xul t 热条件。物理意义：把细杆端点处的截面用一种定点绝热的物质包xl裹起来，使得在端点处，既无热量流出去，又无热量流进来。xl 第三类边界条件：第三类边界条件：物理量与外法向导数的线性组合。已知杆端与某种介质接触，它们之间按热传导中的牛顿实xl验定律进行热交换，相应的边界条件为， ,xul tu l tt：热导系数 ，：热交换系数介质通过边界按 冷却定律散热：单位时间通过单位面积表面和外界交换的热量与介质表
7、面温度和外界温度之差成正u边界u比。设比例系数为，则aua uun边界 边界 nuuut如在处，xl ,xul tu l tt3 .2 混合问题的分离变量解混合问题的分离变量解3.2.1 定解问题定解问题有界杆的热传导现象有界杆的热传导现象 20000,0,00,00txxua uxltutu l ttu xxxl 其中为已知函数。 x第三章 热传导方程的分离变量法6分析：求解：第一步：分离变量第一步：分离变量.设热导方程具有如下分离变量解（特解） ,u x tX x T t.将其代入泛定方程有，其中是常数。于是有21 TX a TX ，0Xx20TaT 由边界条件有当，则，0,0ut 00X
8、当，则 ,0u l t 0X l 即本征值问题 0000XxXX l 第二步：求解本征值问题第二步：求解本征值问题上章已经证明只有当时，证本征值问题有非零解。0. sincosX xAxBx. 由 000sin00XBAlX l ，222n l1,2,3,n 即特征值是，2nn l1,2,3,n .本征函数是 sinnnXxxl第三步：求特解，并叠加出一般解第三步：求特解，并叠加出一般解又由，得 20TaT2nn l2 0n aTTl第三章 热传导方程的分离变量法7 2Ttn a T tl 2 lnn adTdtl 两边积分21lnn aTtCl 2n atl nnTC e其中是积分常数。于是
9、nC， 2,sinn atl nnnnnux tXx TtC exl1,2,3,n 故一般解 21,sinn atl n nnu x tC exl第四步：确定叠加系数第四步：确定叠加系数由初始条件，有 ,u x tx 1sinn nnCxxl两端同乘以，逐次积分有sinmxl 001sinsinsinlln nmnmxxdxCxxdxlll01sinsinln nnmCxxdxll2010sinln nnmn xCdxnml 0121 cos2ln nnxlCdx 2nlC 02sinlnnCxxdxll于是，21,sinn atl n nnu x tC exdxl1,2,3,n 02sinl
10、nnCxxdxll第三章 热传导方程的分离变量法8分析解答分析解答由初始温度引起的温度分布可看作是由各个瞬间热源引起的温 x,u x t度分布的叠加。3.3 初值问题的付氏解法初值问题的付氏解法引言：引言：上节求解混合问题时，空间坐标变动区间为。如考虑无界杆的热传x0,l导，如何？将等在上展成 Fourier 级数，再让区间无限扩大。,f x t, l l, l l结果：在一定条件下，Fourier 级数变成一个积分形式，称为 Fourier 积分。3.3.1 Fourier 积分积分设定义在内，且在任一有限区间上分段光滑，则 f x, , l l可 f x展开成 Fourier 级数 1co
11、ssin2nn nan xn xf xabll其中 ， 1coslnlnafdll ， 1sinlnlnbfdll 0,1,2,n 则 1111coscossinsin2llllllnnn xnn xf xfdfdfdlllllll 111coscossinsin2llllllnnn xnn xfdfdfdllllll 111coscossinsin2llllnnnnnfdfxx dllllll第三章 热传导方程的分离变量法9 111cos2llllnnxfdfdlll 现设在上这时可积，即，则当时， f x, f x dx有限值l 11limcoslllnnf xfx dll 证，则1l22
12、 lnn l1nnnl上式写成 11limcosnlnnlnf xfx d ， 01cosdfx d cosx 它是关于的偶函数。称为的 Fourier 积分 1cos2f xdfx d f x可以证明：及的连续点处，的付氏积分收敛于它在 的函 f x fx f x数值。Fourier 积分还可写为 cossinf xAxBx d其中 ， 1cos2Afd 。 1sin2Bfd 3.3.2 热导方程的热导方程的 Cauchy 问题问题定解问题定解问题 20,0txxua uxtu xxx 其中为已知函数。 x分析分析：已知一无限长细杆在初始时刻的温度分布，求其以后的温度分布。分离变量法求解：分离变量法求
