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1、1必修 5 数列知识与题型归纳一、数列的概念数列的前项和与通项的关系： nannSna11(1)(2)n nnSnaSSn例：1 已知数列的前 n 项和 ，求数列 的通项公式.na322nsnna2.数列的前项和 nan21nSn（1）试写出数列的前 5 项；（2）数列是等差数列吗？na（3）你能写出数列 的通项公式吗？na二、等差数列.等差数列的通项公式： 例：1.已知等差数列中， 等于 na12497116aaaa，则，2. 是首项 ，公差 的等差数列，如果 ，则序号= na11a 3d 2005na n3.等差中项2例：1设 na是公差为正数的等差数列，若 ，12315aaa,则1238
2、0a a a 111213aaa2.设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是 na4.等差数列的性质：1.在3等差数列 na中，从第2项起，每一项是它相邻两项的 ；2.在等差数列 na中，4相隔等距离的项组成的数列是数列；3.在等差数列中，对任意 ，； namnN()nmaanm dnmaadnm()mn4.在等差数列中，若，且 ，则 ； namnpqNmnpq5.等差数列的前和的求和公式： n(是 数列 ),(2为常数BABnAnSn na例：1.如果等差数列中，那么 na12543aaa721aaa2.设是等差数列的前 n 项和，已知，则= nSna
3、32a116a7S3. 设等差数列的前 n 项和为，若,则= nanS729S942aaa54.在等差数列中，则= na1091 aa5a5.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有 项6.已知等差数列的前项和为，若 nannS118521221aaaaS，则7.设等差数列 na的前n项和为nS，若535aa则95S S 8已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.则数列bn的通项bn= 9.已知数列是等差数列，其前 10 项的和，则其公差= na1010a7010Sd10.设等差数列 na的前 n 项和为ns,
4、若6312as,则 na 11设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn。nSn12.等差数列的前项和记为，已知 求通项；若=242，求 nannS50302010aa，nanSn13.在等差数列中， （1）已知；（2）已知；na812148,168,SSad求和658810,5,aSaS求和(3)已知3151740,aaS求66.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有项，则偶奇； ；2nSSnd1nnSa Sa奇偶（2）若项数为奇数，设共有项，则奇偶；。 21nSSnaa中1Sn Sn奇偶7.（1）对与一个等差数列，仍成等差数列；n
5、nnnnSSSSS232,（2）设为等差数列的前项和,则仍成等差数列。nS nannSn例：1.等差数列an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为 2.一个等差数列前项的和为 48，前 2项的和为 60，则前 3项的和为 。nnn3已知等差数列的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 na4.设为等差数列的前项和， = nS nan971043014SSSS，则，5设Sn是等差数列an的前n项和，若 ，则 36S S1 3612S S8.判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法： ； 中项法： ；通项公式法： ； 前项和公式法： 。
6、n例：1.已知数列满足，则数列为 （ ）na21nnaanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列的通项为，则数列为 （ ）na52 nanna7A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前 n 项和，则数列为（ ）na422 nsnnaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4.已知一个数列的前 n 项和，则数列为（ ）na22nsnnaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列满足，则数列为（ ）na0212nn
7、naaanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断9.等差数列前 n 项和的最值（1），时，有最 值；， 时， 有最 值；10a 0d nS10a 0d nS（2）最值的求法：若已知，nS的最值可求二次函数 2 nSanbn的最值；nSnS(3)若已知，则最值时的值（）可如下确定 或 。nanSnnN100nnaa 100nnaa 例：1设等差数列 的前项和为 ，已知 nannS001213123SSa，求出公差的范围， 指出 中哪一个值最大，并说明理由。d1221SSS，2设an （nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结
8、论错误的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S5D.S6与 S7均为 Sn的最大值83.已知是等差数列，其中 ，公差 。na131a 8d （1）数列从哪一项开始小于 0？na（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值nann4.已知 是各项不为零的等差数列，其中 ，公差 ，若,na10a 0d 100S求数列前项和的最大值nan5.在等差数列中，求的最大值na125a 179SSnS三、等比数列1.等比数列定9义：2.递推关系与通项公式 mn mnn nnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：1 11q1 在等比数列中,，则 na2, 41qana2 在等比数列中,则 na3 712
9、,2aq19_.a3.在等比数列中，则= na22a545a8a4.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为 21，则 na13a 345aaa3.等比中项： 例：1.和的等比中项为 23232.设 na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a成等比数列，则 na的前n项和nS= 4.等比数列的基本性质1.（1） ，则若qpnm),( Nqpnm其中（2）)(2 Nnaaaaaqmnmnn mnmn，（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成 数列. na（4）既是等差数列又是等比数列 是各项不为零的 数列. na na例：1在等比数列中,和是方程 的两个根,则 na1a
10、10a22510xx 47aa102. 在等比数列，已知，则= na51a100109aa18a3.在等比数列中， na143613233nnaaaaaa，求 若 nannnTaaaT求,lglglg214.等比数列的各项为正数，且 na5647313231018,loglogloga aa aaaa则5.已知等比数列na满足 0,1,2,nan，且 2 5252 (3)n naan，则当1n 时，2123221logloglognaaa5.5.等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和： ，例：1.已知等比数列的首相，公比，则其前 n 项和 na51a2qnS2.设等比数列的前 n 项和为，
11、已，求和nanS, 62a30631 aananS3设 ，则等于 4710310( )22222()nf nnN( )f n4设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q；5设等比数列的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则 q 的值为 .na6.6.等比数列的前等比数列的前 n n 项和的性质项和的性质11若数列是等比数列，是其前 n 项的和，那么，成 数列. nanS*Nk kSkkSS2kkSS23例：1.设等比数列 na的前 n 项和为nS，若 63S S=3 ，则 69S S= 2.一个等比数列前项的和为 48，前 2项的和为
12、 60，则前 3项的和为 nnn7.7.等比数列的判定法等比数列的判定法（1）定义法： （2）中项法： （3）通项公式法： （4）前项和法： n例：1.已知数列的通项为，则数列为 （ ）nan na2naA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列满足，则数列为 （ ）na)0(22 1nnnnaaaanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前 n 项和，则数列为（ ）na1n22nsnaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断四、求数列通项公式方法四、求数列通项公式方法（1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项12例：1 已知等差数列满足：，则= ；na26, 7753aaana2.已知数列满足，则= ；na) 1( 1, 211naaannna3.数列满足=8， （）
