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1、1必修一 函数的基本性质常见题型及方法 第一部分：求函数值域定义域第一部分：求函数值域定义域 例 1,求下列函数的值域(1); (2)(3)24 3xyx246,1,5yxxx21, 2, 1,0,1,2yxx 例 2 求下列函数的定义域（1） （2）（3）；（4）232;xxyxx216;1xyxxx0(1)xy xx 0 232(1)5 3xyx x 例 3（1）已知函数的定义域为0，1，求的定义域；（求函数抽( )f x2(1)f x 象定义域）（2）已知函数的定义域为0，1),求.(21)fx(1 3 )fx例 4 已知函数 的定义域为 R，求实数的取值范围。 32143axy axa
2、x a例 5 求下列函数的值域（1）；（2）；（3）（4）21;1,2,3,4,5yxx1yx1xyx221 1xyx（5）；（6）（7）223( 52)yxxx 254yxx21 1yx 例 6 求下列函数的值域（1）；（2）21yxx21yxx小结：函数定义域的求法（略） 常用求判别式函数值域及最值的求法： 1、观察法：利用熟知基础函数的值域，求出函数的值域； 2、配方法： 若函数是二次函数形式的可通过配方后再求出函数的值域；3、反比例函数法：形如的形式值域为；cxdyaxbcxdcyyRaxba且y4、换元法：对一些无理函数或超越函数，通过换元把它们转换为有理函数，再 利用有理函数的特征
3、求函数值域（复合函数的情况较多） 5、判别式法：形如的常用该方法。将看成是关于yy一次函数二次函数二次函数或或二次函数一次函数二次函数y2的一元二次方程的系数，然后利用判别式列出关于的不等式，x240bacy从而求出值域（该方法不常用 ） 6、几何法：通过画函数图像找出函数的值域7、不等式法：利用重要不等式求出函数值域；一般形如ayxx8、单调性法：根据函数自身单调性，求出函数的最值从而确定函数的值域； 第二部分函数的表示及函数变换第二部分函数的表示及函数变换 例 1 求下列函数的解析式（1） 已知，求；（代入法）2( )2f xxx(21)fx（2） 已知，求；（配凑法或换元法）(1)2fx
4、xx( )f x（3） 已知（方程法）1( )2 ( )32f xfxx（4） 若，求一次函数的解析式（待定系数法） 2726fff xx( )f x（5） 已知函数对任意的实数，都有，且( )f x, x y()( )2 ()f xyf xy xy，求的解析式（抽象函数的解析式求法）(1)1f( )f x（注：1、所给函数方程含有两个变量时，可对两个变量交替代入特殊值， 或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知数的函数，至于 是什么特殊值，根据题目特征而定。 2、通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从 而顺利地找出规律，求出解析式） 例 2，函数变换后解析式的求
5、法 平移1、( )( + )ayf xyf x a 向左平移个单位长度2、( )( - )ayf xyf x a 向右平移个单位长度3、( )( )+ayf xyf xa 向上平移个单位长度4、( )( )-ayf xyf x a 向下平移个单位长度对称1、( )- ( )xyf xyf x 关于轴对称2、( )()yf xyfx 关于y轴对称3、( )- (- )yf xyfx 关于原点对称其他情况31、( )( )yf xyf x 保留x轴上方图象，再把 x轴下方图象对称到上方2、( )()yf xyfx保留y轴右边图象，再在y轴 左边作其关于y轴的对称图象第三部分第三部分 函数的单调性函
6、数的单调性 1、函数的单调性的证明（略） 2、函数单调性的判断方法： （1） 、图象法（2）直接法（3）利用符合函数的单调性的判断法则（4）导数 法 3、掌握常见函数的单调性 4、函数单调性的应用 （1） 、利用函数单调性比较函数值的大小 （2） 、利用函数的单调性求参数的取值范围 （3） 、利用函数的单调性求函数的最值 5、抽像函数的单调性 ：没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数， 根据题目研究函数的单调性，是一类重要的题型，证明抽象函数的单调性常采 用定义法，还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围。例 1 讨论函数在上的单调性，其中为非零常数。2( )1axf xx( 1
7、,1)x a例 2 已知函数在上是减函数，试比较与的大小。( )f x0,)3( )4f2(1)f aa例 3 求函数上的最大值与最小值( )2,51xf xx在例 4 已知函数对于任意，总有，且当( )f x, x yR( )( )()f xf yf xy时，。 （抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特0x ( )0f x 2(1)3f 殊值的应用）（1） 求证在 R 上是减函数。( )f x（2） 求在上的最大值和最小值。( )f x 3,3第四部分第四部分 函数的奇偶性函数的奇偶性 1、函数奇偶性的应用 （1） 、求函数值（2）求函数解析式（3）解抽象函数不等式例 1、设函数是定义域 R
8、 上的奇函数，当( )f x(2)( )f xf x 时，求的值01x( )f xx(7.5)f例 2、已知是定义在 R 上的奇函数，且当时，( )f x0x 3( )1f xxx求的解析式。( )f x4例 3 设在 R 上是偶函数，在区间上递增，且有( )f x(,0)，求的取值范围。22(21)(321)faafaaa例 4 判断下列函数的奇偶性1、； 2、( )22f xxx22( )11f xxx3、；4、21( )22xf xx221,0.( )1,0;xxxf xxxx5、2223,0( )0,(0)23,0;xxxf xxxxx 注意： （1）分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思
9、想密切相关，要注意自变量 在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。（2）判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。 （3） 若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。例 5 已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意( )f x0x 都有，且当时，12,x x1212()( )()f x xf xf xA1x ( )0,(2)1f xf（1） 求证：是偶函数；( )f x（2） 求证：在上是增函数；( )f x(0,)（3） 试比较与的大小。5()2f 7( )4f例 6 函数是奇函数，且当时是增函数，若，求( )(0)yf x x(0,)x(1)0f不等式。1 ()02
10、f x x 的解集例 7 设是连续的偶函数，且当时是单调函数，且满足( )f x0x ( )f x的所有之和为（ ）3( )()4xf xfxxA .-3 B.3 C.-8 D.8练习题1、函数的图象关于（ ）.1( )f xxxAy 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称2、已知在 R 上是奇函数，且满足，当时， ( )f x(4)( )f xf x(0,2)x5，则（ ） 。2( )2f xx(7)fA.-2 B.2 C-98 D.983、设定义在 R 上的函数满足。若，则（ ( )f x( )(2)13f xf xA(1)2f(99)f） 。A.13
11、B.2 C. D.13 22 134、若 函数，则函数在其定义域上是（ ）3( )()f xxxR()yfxA.单调递减的偶函数 B.单调递增的奇函数C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数 5、是定义在 R 上的函数，则“均为偶( ), ( )f x g x( )( )( )h xf xg x( ), ( )f x g x函数”是“为偶函数”的（ ） 。( )h xA.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6、设函数为奇函数，则 .(1)()( )xxaf xxa 7、已知函数为奇函数，若，则 ( )yf x(3)(2)1ff( 2)( 3)ff8、已知
12、定义在 R 上的奇函数满足，则的值为（ ( )f x(2)( )f xf x (6)f） A.-1 B.0 C.1 D.2 9、设是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）( )f xA.是奇函数 B.是奇函数( ) ()f x fx( )()f xfxC. 是偶函数 D. 是偶函数( )()f xfx( )()f xfx10、函数对于任意实数满足条件，若，则( )f xx1(2)( )f xf x(1)5f (5)f f11、设函数，区间，集合( )()1xf xxRx , ()Ma b ab，则使成立的实数对有（ ）( ),Ny yf x xMMN( , )a bA.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数多个12、设函数在上满足，且在( )f x(,) (2)(2),(7)(7)fxfxfxfx6闭区间上，只有。0,7(1)(3)0ff试判断函数的奇偶性；( )yf x
