平面向量中的三角形四心问题

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1、1 平面向量中的三角形四心问题平面向量中的三角形四心问题 向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重 要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。 在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推 论的相互关系。 1 1、重心重心（barycenter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离 与重心到对边中点的距离之比为 2：1。在重心确定上，有著名 的帕普斯定理。 结论结论 1 1： 是三角形的重心 所在平面内一点，则为若 G GCGBGAABCG 0 的重心为故 上在中线同理可得 上在中线这表明， ，则中点为证明：设 ABCG CFBEG ADG G

2、DGA GCGBGAGCGBGA GCGBGDDBC , ,2 0 2 结论结论 2 2： 2 的重心是 证明： 的重心是 所在平面内一点，则为若 ABCG GCGBGA PCPGPBPGPAPGPCPBPAPG ABCG PCPBPAPGABC 0 0)()()()( 3 1 )( 3 1 P 二、垂心二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。 结论结论 3 3： 的垂心是 所在平面内一点，则为若 ABCH HAHCHCHBHBHAABC H 为三角形垂心故 同理，有 证明： H ABHCCBHA ACHBACHB HCHAHBHCHBHBHA , 0 0)

3、( 结论结论 4 4： 3 可知命题成立由结论 同理可证得， 得，证明：由 的垂心是 所在平面内一点，则为若 3 )()( H 2 2 2 22222 222222 HAHCHCHBHBHA HAHCHCHB HAHCHBHCHBHACAHBBCHA ABCH ABHCACHBBCHAABC 三、外心三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个 点做圆心可以画三角形的外接圆。 结论结论 5 5： 命题成立证明：由外心定义可知 的外心是 所在平面内一点，则是若 ABCOOCOBOA ABCO 结论结论 6 6： 的外心是 （ 所在平面内一点，则是若 A

4、BCO ACOAOCCBOCOBBAOBOA ABCO )()() 4 的外心为故 故 证明： ABCO OCOBOA OAOCOCOBOBOA OAOCACOAOC OCOBCBOCOB OBOAOBOAOBOABAOBOA 222222 22 22 22 )( )( )()(Q 四、内心四、内心(incenter) 三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的 圆心。 结论结论 7 7： 的内心是 所在平面内一点，则为若 ABCP CB CB CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OAOP ABCP )0( 321 5 的内心为故 的平分线上在同理

5、可得， 平分线上在即 边夹角平分线上在由平行四边形法则知， 为方向上的单位向量分别，证明：记 ABCP CBP AP ACABee eeAP AC AC AB AB OAOP eeACAB , ,)( )( , 21 2111 21 结论结论 8 8： 的内心是 所在平面内一点，则是若 ABCP PCcPBbPAaABCP 0 的内心是故 是平分线同理可得其他的两条也 的平分线是由角平分线定理， 即 不共线，则与由于 证明：不妨设 ABCP ACBCD a b DB DA DBbDAacba DBDAPC DBbDAaPCcba PCcDBPDbDAPDaPCcPBPAa PCPD 0, 0 , 0)()( 0)()(0b