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1、第六节 对数与对数函数,1对数的概念 如果axN(a0且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作_ 2对数的性质、换底公式与运算性质,xlogaN,0,1,N,3.对数函数的定义、图象与性质,ylogax,(0，),(，),(1，0),y0,y0,增函数,减函数,4.反函数 指数函数yax(a0且a1)与对数函数 _(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称,ylogax,yx,1如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？你能得到什么规律？ 【提示】 作直线y1， 则该直线与四个函数图象 交点的横坐标为相应的底数 0cd1ab.由此 我们可得到以下规律：在 第一象限内从左到
2、右底数逐渐增大,2当对数logab的值为正数或负数时，a，b满足什么条件？ 【提示】 若logab0，则a，b(1，)或a，b(0，1)，简记为a，b在相同的区间内；若logab0，则a(1，)且b(0，1)或a(0，1)且b(1，)，简记为a，b在不同的区间内,1(人教A版教材习题改编)2log510log50.25( ) A0 B1 C2 D4 【解析】 2log510log50.25log5100log50.25log5252. 【答案】 C,【解析】 由题意知f(x)logax，又f(2)1，loga21，a2.f(x)log2x，故选D. 【答案】 D,【答案】 D,4(2013苏州
3、模拟)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_,5(2012北京高考)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)_【解析】 f(x)lg x，f(a2)f(b2)2lg a2lg b2lg ab. 又f(ab)1，lg ab1，f(a2)f(b2)2.【答案】 2,【思路点拨】 (1)根据乘法公式和对数运算性质进行计算； (2)将对数式化为指数式或直接代入求解,【尝试解答】 (1)法一 loga2m，loga3n， am2，an3， a2mn(am)2an22312. 法二 loga2m，loga3n， a2mn(am)2an(aloga2)2aloga322312
4、.,1对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常用到换底公式及其推论；在对含字母的对数式化简时必须保证恒等变形 2abNblogaN(a0且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化 3利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化,A(1，10) B(5，6) C(10，12) D(20，24),(2)作出f(x)的大致图象不妨设 abc，因为a、b、c互不相等， 且f(a)f(b)f(c)，由函数的 图象可知10c12， 且|lg a|lg b|，因为ab， 所以lg alg b，可得ab1， 所以abcc(10，12)，故选C. 【答案】 (1
5、)D (2)C,1解答本题(1)时，可假设一个图象正确，然后看另一个图象是否符合要求；对于本题(2)根据|lg a|lg b|得到ab1是解题的关键 2对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解 3一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解,(1)已知函数f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线ya(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( ) Ax2x3x1 Bx1x3x2 Cx1x2x3 Dx3x2x1 (2)
6、(2012皖南八校第三次联考)若函数f(x)loga(xb)的大致图象如图262，其中a，b为常数，则函数g(x)axb的大致图象是( ),【解析】 (1)在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线ya(a0)，易知x1x3x2，故选A. (2)由对数函数递减得0a1，且f(0)logab(0，1)0ab1，所以函数g(x)单调递减，且g(0)a0b1b(1，2) 【答案】 (1)A (2)B,【思路点拨】 (1)利用真数大于0构建不等式，但要注意分类讨论，(2)先由条件求出a的值，再讨论奇偶性和单调性,由于f(x)为奇函数，所以f(x)在(，5)内单调递减,1利用对数函数的性质比较对数值大小：
7、(1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理； (2)底数不同，真数相同的对数值的比较，可利用函数图象或比较其倒数大小来进行 (3)既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入中间量(如1，0，1等)，再利用对数函数性质进行比较 2利用对数函数性质研究对数型函数性质，要注意三点，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成,(2013中山模拟)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，求实数a的取值范围,abNlogaNb(a0，a1，N0)解决与对数有关的问题时：(1)务必先研究函数的定义域 (2)对数函数的单调性取决于底数a，应注意底数的取值范围,对数值的大小比较方法 (1)化同底后利用函数的单调性(2)作差或作商法(3)利用中间量(0或1)(4)化为同真数后利用图象比较,从近两年高考看，对数函数是考查的重点，题型多为选择题、填空题，重点考查对数函数的图象和性质的应用，中等难度预计2014年高考仍将以对数函数的性质为主要考点，考查解决问题的能力，分类讨论和数形结合等数学思想,思想方法之四 用数形结合思想求参数的取值范围,【答案】 B,【答案】 C,课后作业（九）,
