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1、函数的基本性质31学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性） ，能应 用函数的基本性质解决一些问题。（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象 和单调性定义判断、证明函数单调性的方法（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程 一、一、函数的单调性函数的单调性 1单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意( )f xII两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间1x2x1x 2x12()()f
2、xf x( )f x 上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时1x2x1x 2x都有，那么就说在这个区间上是减函数。12()()f xf x( )f x（3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数( )yf x在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。( )yf x( )yf x2、单调性的判定方法 （1）定义法：判断下列函数的单调区间：21 xy （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，增函数，从左往右，图像下降即为减函数减函数。 （3）复合函数的单调性的判断：设，都是单调函数，则在)(xfy )(xgu ,b
3、ax,nmu ( )yf g x上也是单调函数。,ba若是上的增函数，则与定义在上的函数的单调性相)(xfy , m n ( )yf g x,ba)(xgu 同。若是上的减函数，则与定义在上的函数的单调性)(xfy , m n ( )yf g x,ba)(xgu 相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数 的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正” ）练习：（1）函数的单调递减区间是 ，单调递增区间为 24xy （2）的单调递增区间为 5412 xxy3、函数单调性应注意的问题：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了
4、定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数4例题分析证明：函数在上是减函数。1( )f xx(0,)证明：设任意，（0，+）且，1x2x12xx则，21 12 121211()()xxf xf xxxx x由，（0，+） ，得，又，得，1x2x120x x 12xx210xx，即12()()0f xf x12()()f xf x所以，在上是减函数。1( )f xx(0,)说明：一个函数的两个单调
5、区间是不可以取其并集，比如：不能说xy1是原函数的单调递减区间；)0 ,(), 0( 练习：1 根据单调函数的定义，判断函数的单调性。3( )1f xx2根据单调函数的定义，判断函数的单调性。( )f xx二、函数的二、函数的奇偶性奇偶性 1奇偶性的定义：（1）偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，( )f xx()( )fxf x那么函数就叫做偶函数。例如：函数, 等都是偶函( )f x2( )1f xx4( )2f xx 数。（2）奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，( )f xx()( )fxf x 那么函数就叫做奇函数。例如：函数，都是奇函数。( )f
6、 xxxf)(xxf1)(（3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性。( )f x( )f x说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；（2） 或必有一成立。()( )fxf x()( )fxf x 因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不()fx( )f x( )f x对称，则函数没有奇偶性。 （3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。（4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足0)(xf也满足。)()(xfxf)()(xfxf（
7、5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。y（6）奇函数若在时有定义，则0x (0)0f2、函数的奇偶性判定方法（1）定义法 （2）图像法 （3）性质罚 3例题分析： 判断下列函数的奇偶性：（1） （ ） （2）（ ）2( ) |f xxx21( )2 |2|xf xx说明：在判断与的关系时，可以从开始化简；也可以去考虑()fx( )f x()fx或；当不等于 0 时也可以考虑与 1 或的关系。( )()f xfx( )()f xfx( )f x(
8、) ( )fx f x1五小结：1函数奇偶性的定义； 2判断函数奇偶性的方法； 3特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称， 否则将会导致结论错误或做无用功。二、函数的二、函数的最大值或最小值最大值或最小值学习评价 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差经典例题1下面说法正确的选项（ ） A函数的单调区间可以是函数的定义域 B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2在区间上为增函数的是（ )0 ,( ）AB 1y21xxyC D122x
9、xy21xy3函数是单调函数时，的取值范围（ cbxxy2)1 ,(xb ） A B C D 2b2b2b2b 4如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（ ,ba,ab ） A最大值 B最小值 C 没有最大值D 没有最小值课后作业 1在区间(0，)上不是增函数的函数是（ ）Ay=2x1By=3x21Cy=Dy=2x2x1x22函数 y=(x1)-2的减区间是_ _3偶函数在上单调递增，则从小到大排列的顺( )f x0,( 2),( 3),()2fff序是 ； 4已知是 R 上的偶函数，当时，求的解析式。( )f x0x 2( )2f xxx( )f x5 （12 分）判断下列函数的奇偶性； ；
10、xxy13xxy2112高中数学必修高中数学必修 1 1 函数的基本性质函数的基本性质1奇偶性 （1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为奇函数； 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质， 则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；1由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的2任意一个 x，则x 也一
11、定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；1确定 f(x)与 f(x)的关系；2作出相应结论：3若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。 （3）简单性质： 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函 数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：( )f x( )g x12,D D奇+奇=奇，奇
12、奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 2单调性 （1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1f(x2)） ，那么就说 f(x)在区 间 D 上是增函数（减函数） ； 注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；1必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2)2（2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一 区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 （3）设复合
13、函数 y= fg(x)，其中 u=g(x) , A 是 y= fg(x)定义域的某个区间，B 是映射g : xu=g(x) 的象集： 若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数，y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数 y= fg(x)在 A 上是增函数； 若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y= fg(x)在 A 上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：任取 x1，x2D，且 x1x2；1作差 f(x1)f(x2)；2变形（通常是因式分解和配方） ；
14、3定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负） ；4下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 。5（5）简单性质 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数)(xf)(xg)(xf)(xg减函数是增函数；减函数增函数是减函数。)(xf)(xg)(xf)(xg3最值 （1）定义： 最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值：一般
15、地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0I，使得 f(x0) = M；1函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 xI，都有 f(x)2M（f(x)M） 。 （2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；1利用图象求函数的最大（小）值；2利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：3如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大
