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1、1,第5章 时频分析的基础 与短时Fourier变换,2,主要内容,Fourier变换的局限性,短时Fourier变换与Gabor变换,时频分析的基础知识,3,信号空间概念的引入,满足维数定理的情况下,有：,结论：带限于B，时限于T连续时间二维信号s(t)与M维空间中的一个点对应,4,信号集合,定义：具有某些共同性质的信号的集合,Example1: 正弦信号集合,Example2: 周期信号集合,Example3: 能量有限集合,5,Example4: 时限信号集,Example5: 带限信号集,Example6: 复函数集合和正交函数集合,6,设 X 为一集合, 为X中任意二元素对应的实数，
2、若满足,称 X 为以 为距离的距离空间 。,1 函数空间,符号：,函数空间 ：由函数构成的集合。函数空间又称为信号空间。,1)距离空间 ( 度量空间 ),非负性,对称性,三角不等式,引入距离的目的：测量或描述两个信号之间的波形差异,距离反映信号集合内信号的几何特性,7,代表 n 维向量 全体组成的集合，即 x 。,x 中的 代表向量 x 在座标 上的投影。,Example-1 n 维欧氏空间,空间内向量 x, y 间的距离,Example-2 连续函数空间 Ca,b,由连续函数组成距离的空间，a,b为函数的定义域。,意义：代表二连续函数瞬时最大差值。,8,意义： 反映了二信号的波形上差异的大小
3、。,Example-3 平方可积空间,由平方可积函数（能量有限函数）构成的距离空间，即,意义：由所有能量有限的实信号组成的空间(集合)。,9,定义：由平方可和离散序列（能量有限序列）构成的距离空间，即,Example-5 平方可和离散序列空间,意义： 反映了二信号序列的差异。,10,2)线性空间(向量空间),空间内的元素之间定义了加法、数乘、结合律、分配律的函数空间。,线性空间反映(规定)了函数空间中的代数特性。,3) 线性赋范空间,设X为线性空间， 则定义了范数 的线性空间称为线性赋范空间。 应满足,线性赋范空间一定是距离空间。,11,完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。完备空间：若 X 空间
4、中的任一 Cauchy 序列都 收敛于X中的点，则称 X 为完备空间。,4) 巴拿赫空间,柯西序列：设 X 中的点列 满足对于任意 总有 存在，使得对一切 都有则称 为X 的柯西序列。,5) 希尔伯特空间( Hilbert),内积空间: 定义了内积运算的复线性空间。内积运算应满足：,12,希尔伯特空间 ： 完备的内积空间。,范数,距离,意义：在 Hilbert空间中，任一元素(函数)均可用Hilbert空间内的柯西序列(收敛的无穷序列)无失真地逼近。,13,6)几个空间的关系及其与信号分析的联系,线性空间,线性距离空间,巴拿赫空间,线性赋范空间,Hilbert空间,定义了距离,距离由范数诱导,
5、完备性,定义了内积,函数或信号空间,14,作业4-1 请分析说明在Hilbert空间中定义线性、距离和内积在研究和分析信号时有哪些用途？,15,2 基、正交基、双正交基,定义1 函数序列张成的空间,如集合X 中任一元素可由 线性组合表示 即,则称,中张成一空间 X ，即,16,例2,17,定义2 基底(基),如集合X 中任一元素可由 线性组合表示 即,且 是唯一的。则称 是X的一个基或基底,定义3 正交,定义4 标准正交系若 满足 ，则称 为标准正交系。,18,定义5 完全的标准正交系设 X 为内积空间， 为 X 中的标准正交 系，若 X 中不存在非零元素，使它与所有的 正交，称 为完全的标准
6、正交系(规范正交系) 。,基(底),标准正交系,完全标准正交系,19,在Hilbert 空间中，只要找到一个规范正交系 则,把傅氏级数推广到 Hilbert 空间中即：Hilbert 空间中的Fourier变换,Hilbert 空间中的Fourier变换,20,Example-1,在复空间 中的一组规范正交基是函数系,在复空间 中任意函数在该系下的展开系数称为Fourier级数,Fourier级数是用来分析周期T=2的函数，当T时，可以得到Fourier变换。,21,Example-2,在实空间 中的一组规范正交基是函数系,在实空间 中任意函数在该系下的展开系数为以fs为采样率的函数采样，即采
7、样定理。,空间的直和(正交补),Hilbert空间,则称H1和H2是H的子空间。如果,则称H是H1和H2的直和，记为：,22,定义 6 双正交基在函数空间 X 中，若存在两个基底，与对偶基 ，它们本身不正交，但彼此正交。即,23,函数在双正交基中展开,正交基、双正交基特点： i 正交系中各分量之间线性独立，展开式系数唯一 存在 Parseval 公式，即函数能量等于展开式系数平方之和,24,3. 框架和紧框架,1)框架的定义,25,2)用框架的进行信号分解,物义：框架也是函数序列，其特点是框架 中各分量之间不一定正交，可以是线性独立的，也可以是线性相关，按该函数序列对信号可以展开，Parsev
8、al 公式不一定成立，展开前后信号的能量仅仅存在近似关系。,框架的用途：框架是用于研究信号的分解和重构的重要理论，只要保证了框架界为有限值，则用这一组框架对信号进行分解是完备的，并且由分解系数对信号进行重构也是稳定的。但分解系数可能存在冗余。,26,A=B 之框架为紧框架。,3) 紧框架,当 A=B=1 时，框架成为正交基。,27,框架界A，B的物理意义：,28,4)信号在框架下重建,i）紧框架 A=B=1 正交基,A=B 紧框架,where,29, 框架,说明: (1)函数在框架中展开不存在Parseval 定理，信号能量与展开式能量只有近似相等关系。,(2)在找不到正交基和双正交基的情况下
9、，函数可在框架中展开，只要误差能量小，也能满足应用的要求。,30,5) Riesz基,Riesz基和其对偶基构成双正交关系。,31,用一般基函数集 展开信号s(t),信号变换的一般描述,32,用矩阵表示,是否存在别的与 相关的基函数同样可以对函数s(t)展开,？,33,34,信号分解,信号合成,35,信号可以用一组基分解；用另一组基来合成,36,将有限维空间表示法推广到连续的情况，即,积分变换基核,信号的积分表示,37,问题：如果,变换对成立的条件是什么？,积分变换对偶基核,38,(1-54)代入(1-53),同理(1-53)代入(1-55),39,信号的离散表示和连续表示的对比,注意: 选择
10、不同的基核和对偶基核，可对应信号不同的变换,40,Example:,在 空间中，基核,产生Fourier变换对,41,信号线性变换,正交变换,双正交变换,非正交变换,正交信号变换的级数展开基函数，和信号变换的基函数相同，并且是一组正交基。即对偶基和基函数是相同的。,信号变换的分类,42,信号线性变换,正交变换,双正交变换,非正交变换,双正交信号变换的级数展开基函数，和信号变换的基函数不同，但它们都是彼此正交的正交基，但自身并不正交。,43,信号线性变换,正交变换,双正交变换,非正交变换,非正交信号变换的级数展开基函数，和信号变换的基函数不同，它们都是非正交基。,44,非正交变换,信号表示,线性
11、表示,非线性表示,正交变换,双正交变换,Taylors expansion,矩展开,45,主要内容,Fourier变换的局限性,短时Fourier变换与Gabor变换,时频分析的基本知识,46,Short Time Fourier Transform,短时傅里叶变换 STFT,1.历史背景,2.平稳与非平稳信号,2) 广义平稳随机信号信号的一阶(均值)、二价统计量(相关函数、功率谱)与时刻 t 无关。,严格平稳随机信号信号的各阶统计量与时刻 t 无关。,3) . 非平稳信号频率随时间变化的信号统称为非平稳信号 。例：语音、音乐、地震信号等。,47,1) . FT 是信号的单域变换。 时域 频域
12、,3 . Fourier变换 特点,2) . FT 是信号的全域变换。,FT反映了信号的全域 ( 时、频 ) 特征。,FT不能反映信号的局域 ( 时、频 ) 特征。,48,4 . Fourier变换的局限性,缺乏时间和频率的定位功能,例如：压控振荡器是一个电压频率变换装置。输入电压为周期性锯齿波。,49,对于非平稳信号的局限性,压控振荡器输出信号的时频分布的三维表示,信号的瞬时频率，表示的是信号的谱峰在时间频率平面上的位置及其随时间的变化情况，瞬时频率曲线也是信号能量的主要集中之处。,Fourier变换后信号频谱中的频率反映的是整体信号中包含的某一频率分量的平均值。,50,时间分辨率是通过一个
13、时域窗函数来观察时间信号时，所能看到的时间宽度。,结论：Fourier变换仅仅适用于平稳信号分析，对非平稳信号的本质把握不好,51,矛盾：时频不确定性原理指出，时间分辨率和频率分辨率不可能同时达到最好。,解决矛盾的方法：根据是快变信号还是慢变信号，来选择不同的时间分辨率和频率分辨率。,工程应用的目标：同时得到好的时间分辨率和好的频率分辨率,Fourier变化无法解决这样的问题。,52,5 .克服 Fourier变换的局限性的方法,短时Fourier变换,信号的子带分解,小波变换和多分辨分析,时频联合分析,作业4-2 请分析说明Fourier变换的特点和局限性，可有哪些举措来克服这些局限性？,5
14、3,主要内容,Fourier变换的局限性,短时Fourier变换与Gabor变换,时频分析的基本知识,54,1.定义,短时Fourier变换，又名加窗的Fourier变换,where,55,窗函数：高斯窗、汉明窗、矩形窗,对窗函数要求：时、频域都有良好的局域性，即能量在时、频域高度集中。, 该变换是一维 t 时域向二维 t、域空间的积分变换。,56,窗口 窗函数中心 ：窗函数能量的重心。 窗口宽度：窗函数能量相对于中心的标准差。 窗口面积,t,-0.8,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,信号幅度,-0.6,解释1,57,t,解释2,58,短时Fourier变换的基函数和时频网格,59,2 短时Fourier变换的逆变换,两边作Fourier逆变换,60,重构函数必须满足条件,特点：(1)对连续 STFT 连续变化窗口大小不变。(2) 服从海森堡测不准原理 需用三维空间表示。,还可以用下式来重构,61,
