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1、第八章 应力状态分析与强度理论,8 应力状态的概念,应力状态与应变状态,一、引言,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,应力状态与应变状态,如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点应力大小。,四、普遍状态下的应力表示,三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。,二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。,应力状态与应变状态,x,y,z,s,x,sz,s,y,应力状
2、态与应变状态,五、剪应力互等定理:过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。,六、原始单元体（已知单元体）：,例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,应力状态与应变状态,七、主单元体、主面、主应力：,主单元体：各侧面上剪应力均为零的单元体。,主平面：剪应力为零的截面。,主应力：主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,应力状态与应变状态,x,y,z,sx,sy,sz,单向应力状态：只有一个主应力不为零的应力状态。,二向应力状态：只有两个主应力不为零的应力状态。,应力状态与应变状态,三向应力状态：三个主应力都不为
3、零的应力状态。,82 二向应力状态分析,应力状态与应变状态,规定： 截面外法线同向为正；,图1,设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：,一、任意斜截面上的应力,应力状态与应变状态,t a绕研究对象顺时针转为正；,a逆时针为正。,图1,应力状态与应变状态,考虑剪应力互等和三角变换，得：,同理：,二、极值应力,应力状态与应变状态,在剪应力相对的项限内， 且偏向于x 及y大的一侧。,应力状态与应变状态,例2 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原始单元体,求极值应力,应力状态与应变状态,破坏分析,应力状态与应变状态,铸铁,试求（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体
4、。,例题1：一点处的平面应力状态如图所示。,已知,MPa,解：,（1） 斜面上的应力,（2）主应力、主平面,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向：,（3）主应力单元体：,对上述方程消去参数（2），得：,一、应力圆,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,应力状态与应变状态,建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx),AB与sa 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,应力状态与应变状态,三、单元体与应力圆的对应关系,四、在应力圆上标出极值应力,
5、应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。,单元体：,应力状态与应变状态,85 三向应力状态简介,应力状态与应变状态,1、空间应力状态,2、三向应力分析,弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,图b,整个单元体内的最大剪应力为：,应力状态与应变状态,例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）,解：由单元体图知：y z面为主面,建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:,应力状态与应变状态,50,40,30,A,B,C,86 广义虎克定律,一、
6、单拉下的应力-应变关系,二、纯剪的应力-应变关系,应力状态与应变状态,三、复杂状态下的应力 - 应变关系,依叠加原理,得:,应力状态与应变状态,sz,sy,sx,主应力 - 主应变关系,四、平面状态下的应力-应变关系:,方向一致,应力状态与应变状态,五、体积应变与应力分量间的关系,体积应变：,体积应变与应力分量间的关系:,应力状态与应变状态,例7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处的平面应力状态,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,例
7、8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。,应力状态与应变状态,s1,sm,p,O,图a,1、轴向应力:,解：容器的环向和纵向应力表达式,用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程,应力状态与应变状态,用纵截面将容器截开，受力如图c所示,2、环向应力：,3、求内压（以应力应变关系求之）,应力状态与应变状态,87 复杂应力状态下的变形比能,应力状
8、态与应变状态,称为形状改变比能或歪形能。,应力状态与应变状态,例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。,纯剪单元体的比能为：,纯剪单元体比能的主应力表示为：,应力状态与应变状态,一、引子：,88 强度理论概述,强度理论,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,（拉压）,（弯曲）,（弯曲）,（扭转）,（切应力强度条件）,1. 杆件基本变形下的强度条件,强度理论,二、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因”的假说。,1、伽利略播下了第一强度理论的种子；,三、材料的破坏形式： 屈服； 断裂 。,2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽
9、；,3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；,4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。,强度理论,89 四个强度理论及其相当应力,一、最大拉应力（第一强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。,1、破坏判据：,2、强度准则：,3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,强度理论,二、最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。,1、破坏判据：,2、强度准则：,3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,强度
10、理论,三、最大剪应力（第三强度）理论：认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。,1、破坏判据：,3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,2、强度准则：,强度理论,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象,1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。,四、形状改变比能（第四强度）理论：认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。,1、破坏判据：,2、强度准则,3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,强度理论,三、相当应力：（强度准则的统一形式）。,其中， *相当应力。,强度
11、理论,810 强度理论的应用,一、强度计算的步骤：,1、外力分析：确定所需的外力值。,2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。,3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。,4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。,强度理论,二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。,1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；,3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：,2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；,4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！,当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。,当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。,其它应力状态时，使用第三或第四理论。,强度理论,解：危险点A的应力状态如图：,例1 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。,故，安全。,强度理论,例2 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。,解：由广义虎克定律得:,所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。,强度理论,
