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1、第三章 光电传感器中的光纤技术,王英 武汉工程大学理学院 光学信息技术实验室 电话：13986036101 E-mail： QQ：7079150,1 光波导模式理论 2 光纤的损耗 3 光纤的色散 4 光纤的耦合技术 5 光纤中光波的控制技术 6 小结,主要内容,1光波导模式理论,电磁场方程 阶跃光纤的严格解 阶跃光纤中的线偏振模 梯度光纤的解析解 模式的横向耦合理论 模式的纵向耦合理论 单模光纤,电磁场方程,麦克斯韦方程方程组,对于非导电、非磁性介质：M = 0，,均匀各向同性媒质的波动方程：,非均匀媒质的波动方程：,对于缓变媒质：折射率或相对介电常数随位置变化缓慢,近似有,上式虽然与均匀介
2、质的波动方程形式相同，但有重要区别：折射率随位置缓慢变化。 利用波动方程求解光纤波导中的电磁场分布。,1.1 圆柱型波导中场方程的求解,将场分量分解成纵向分量和横向分量,（横向分量，矢量方程）,（纵向分量，标量方程）,（三维矢量方程）,（二阶偏微分标量方程方程）,式中：,导出圆柱面波导波动方程纵向分量的微分方程：,所有沿z向传播的场分量都有传播因子 ，为z向传播常数； 纵向分量给出电矢量或磁矢量在横截面的半径R 方向和圆周 方向上随 z 轴变化的规律； 用分离变量法解二阶偏微分方程，得到关于R 和 两个解。,（1.1）,（1.2）,根据麦克斯韦方程的横向矢量与纵向分量的关系求出横向分量，无需解
3、矢量方程。,横向分量以r和 为参量,式中kc为横向传播常数：,如果光纤中折射率是变量r的函数，则 n 用n(r ) 代替,略去推导过程，横向分量有：,1.2 阶跃光纤的严格解矢量模解,（二阶偏微分方程）,（1.1）,（1.2）,（1.2）式代入（1.1）式：,用分离变量法解二阶偏微分方程，得到关于r和 两个解。,两边同乘,重写纵向分量（1.1）式：,式中：,上式左边只是r 的函数，右边只是 的函数，而r 、 都是独立变量，欲使上式对任何r 和 都成立，只有两边都等于同一常数才有可能。 方程的右边：,即：,（1.3）,其解为：,m = 0、1、2、- - -,（1.4）,表示场量（电矢量或磁矢量
4、）在横截面圆周方向变化的规律。,应以2 为周期；m = 0 意味场量不随方位角变化，即子午光线；m 0意味场量在圆周方向按正弦或余弦分布。,方程的左边：,令：X = kc r ，表示成贝塞尔方程形式：,（1.5）,X2 0 ，m阶贝塞尔方程标准形式 （纤芯内的场解） X2 0 ， m阶变态贝塞尔方程标准形式 （包层内的场解）,X2 的正负取决于,纤芯内：,（1.6）,表示场量（电矢量或磁矢量）在横截面半径r 方向变化的规律。, 第一类贝塞尔函数, 第二类贝塞尔函数,（贝塞尔函数级数表示的特殊函数）,其解：,特点：两类贝塞尔函数都是震荡函数，有无穷多个零点或根。,第一类贝塞尔函数的两种极端状态：
5、,X = kc r,在径向按 衰减的驻波场,第二类贝塞尔函数的两种极端状态：,包层内,其解：,其中：,Km(X)在r较大时按指数规律迅速衰减，呈现表面波特性。 Im(X)随 r增大呈无限增大状态，物理上不合理，故舍去。,不合理,（1.7）,沿半径方向场量呈驻波分布，用贝塞尔函数描述。 在圆周方向场量呈sin m 或 cos m 驻波分布，m是沿圆周方向出现最大值的对数。 m = 0 对应子午光线。 沿z轴呈行波状态，波的相位常数为。,纵向分量Ez 和 Hz的特点：,在纤芯内,在包层内,沿半径方向呈渐消场，用变态贝塞尔函数描述，以保证电磁波能量集中在纤芯和边界面附近。 在圆周方向场量分布和纤芯内
6、相同，以保证满足界面边界条件。 具有表面波特性。否则成为辐射波而不是导波。,A1， B1是待定常数,A2， B2是待定常数,注意两个贝塞尔函数的差异。,（1.8）,（1.9）,纵向分量（1.2）式场解用贝塞尔函数表示，则有：,1.2.1 导波模的特征方程,如何确定光纤中电磁场解（1.8），（1.9）式中的待定常数？ 能否用数值解表示光纤中的电磁场分布？ 电磁波成为导波的条件是什么？ 模式如何分类？ 传播模式与光纤结构有什么关系？ 由特征方程回答上述问题。,引入两个参数：表示纤芯内场沿半径a方向分布规律纤芯内横向传播常数表示包层内场沿半径a方向衰减程度包层内横向衰减系数 表示轴向相位常数，与波矢
7、量k0和横向传播常数kc之间有确定关系：,U、W与波导参数V（结构参数）三者之间有确定关系：参数U，W代入表示芯层和包层的纵向场量（1.8）,（1.9）式：,利用边界条件确定待定常数：在纤芯与包层界面上电场和磁场的轴向场量切向分量必须连续：即：令：,则纵向分量改写成：,TE模特点：电场矢量不出现在传播方向，而在与传播方向垂直的平面内；,利用纵向分量和横向分量的关系，可以得到4个横向电场分量：,（1.11 a d）,4个横向磁场分量,（1.12 a d）,以上电场和磁场各六个方程包含参量U,W, 以及待定系数A,B,为消去待定系数 A、B，利用圆周方向的场量必须连续的边界条件：,将电（磁）场横向
8、分量代入得：,（1.13 a）,（1.13 b）,上两式相乘，消去 A, B,由,得到用横向传播常数和折射率表示、满足边界条件的光纤中电磁场分布方程，称之为特征方程。,消去,引入简化符号：,上式是导波模的精确特征方程表达式。,（ 1.14 ）,光纤通讯实际使用光纤的纤芯和包层相对折射率差很小,近似有,特征方程（ 1.14 ）简化成：,（弱导波光纤）,即,m = 0、1、2、3 - - -,（ 1.15）,上式是弱导波光纤特征方程。,注意,对于TE模有待定系数,A = 0 B 0,由边界条件（ 1.13 b ）式：,三项均不能为零，TE模存在条件只能是 m = 0,即,1.2.2 导波模的分类,
9、TE模和TM模,TE波在光纤中存在条件是m = 0，意味着场量不是的函数，在光纤中呈轴对称分布，只能以子午光线形式传播。,据边界条件（ 1.13 a ）式:,据贝塞尔函数递推公式,TE模精确特征方程,（ 1.16）,因式中m = 0，所以有：,与TM模同样的推导过程，有TM模精确特征方程：,A 0 B = 0,对于TM模有待定系数,（ 1.17）,TE波或 TM波在光纤中存在条件是m = 0，只能以子午光线形式传播。,对弱导光纤，,近似有,TM模和TE模有相同的特征方程,（ 1.18）,EH模和HE模混合模 当m 0 时，场量沿圆周方向周期性分布，为满足边界条件A与B 都不得为零，因而在纵向
10、Ez , Hz 同时存在。 对弱导光纤有：,EH模,HE模,据贝塞尔函数递推公式,m 0,m 0,（电场为纵向分量称之为EH模，磁场为纵向分量称之为HE模）,EH模,HE模,如果令 m = 0，并注意到,则在弱导光纤条件下，EH、HE模有与TM、TE模相同的特征方程：,TM、TE模是EH、HE模的特例。,1.2.3 导波模的截止参数和单模传输条件,一个导波模沿Z方向无衰减传播的条件：U、W都是正实数。 W越大，包层中的场量沿半径方向衰减也快；越小就有越多的能量向包层中弥散。 W20，电磁场成为沿径向的辐射模。 W2=0是导波模与辐射模的临界点，与此对应的归一化频率称为截止频率：截止频率是与临界
11、角对应的横向传播系数； 不同的模式有不同的截止频率，在光纤结构参数确定情况下，截止频率限定了工作波长。,TE模和TM模的截止频率特征方程W 0 时 欲使上式成立，应有 ，对应有两种情况： 若UC = 0，则不能满足 ； 因而截止状态的特征方程应该为： 即归一化截至频率UC 及VC 是零阶贝塞尔函数的零点：,2.405， 5.520， 8.654，- - -,（ 1.19）,TE模和TM模的归一化截止频率,若工作波长，光纤结构参数 a、n1、n2都确定，则归一化频率 是确定的; 光纤中任意一个模式传播条件： TE01模和TM01模是所有模中归一化频率最低的:,2.405， 5.520， 8.65
12、4，- - -,例：某光纤 a = 4.0m， 0.003 ，纤芯折射率n1=1.48，则TE01模和TM01 的截止波长为 c 1.20 m。 即对于工作波长 =1.31 m，最简单的模式TE01模和TM01 也不能传播，只能传播=0.85 m的光波。,EH模,特征方程,W 0 时，截止状态特征方程为 Jm（Uc）= 0,Uc（或Vc ）是m阶贝塞尔函数的零点,最小归一化频率为：,最小截止波长为：,仍考察前例：光纤 a = 4.0m， 0.003 ，纤芯折射率n1=1.48，则EH 11模的截止波长为 c 0.75 m。 不仅波长 =1.31 m不能传播，而且=0.85 m的光波也不能传播。
13、,HE模,特征方程,W 0 时，分为m = 1 和 m 2 两种情况,其解有两个：,一阶贝塞尔函数的根,记作 HE1n，并将VC=0的模作为第一个模，即HE 11模,（ 1.20）,注意HE 11模，其截止频率为：,截至波长为：,HE 11模可以以任意低的频率在光纤中传播，不存在截止， HE 11模是光纤中的主模 理想极限,m 2,截止状态下的特征方程为,其截止频率为：,m = 2、3、4 - - -，n =1、2、3 - - -,有些模式的截止频率彼此相同，称其为简并模,（ 1.21）,截止频率由低到高的前34个模式,主模是HE 11模 阶跃光纤单模传播条件：V 2.405，则只有HE 11
14、模可以传播，其他模都截止。,低阶导波模在横截面内的场分布,对确定的模m都可以求得其特征方程的解n，每一个解的系列都对应确定的电磁场结构，表示成EHmn。 图中各个模式的场分布是电场和磁场各分量和称的结果，如HE11模式是六个场分量在圆周方向按正、余弦规律变化，但合成后趋向于x或y方向； 所有模式中，TE01和TM01最简单，轴心处电（磁）场为零； 下表m和n表示场量在圆周方向和半径方向出现极大点和零点的个数。,1.3 阶跃光纤中的线偏振模,在弱导条件下：可以证明光纤中传播的电磁波横向电磁场占主导地位，纵向分量总是很小，而且一经激励起来偏振状态保持不变，称其为线性偏振模，简写为LP模（Linea
15、r Polarized Mode） 比较TE，TM，EH，HE模的特征方程，可以发现它们 具有相同的形式，这表示虽然模式不同，但具有相同模阶数的模传播常数是相同的，这类模可以“简并”，即经过线性耦合形成新的特征模，即线性偏振模。,LPmn模式序号物理意义,m是贝塞尔函数的阶数，确定场量沿圆周方向的分布规律。在一个圆周上出现2m个极大点和2m个零点。 n是m阶贝塞尔函数的第n个根，表示沿半径方向出现极值的个数。,阶跃光纤中基模的场分布,线偏振模的特征方程和截至参数,在弱导条件下特征方程为：远离截至状态的特性（用Uf 表示远离截至状态的U值）：说明此时对于确定的m值，纤芯内场量的径向归一化相位常数趋于m阶贝塞尔函数的根，即当W 0时导波模趋于截至，由K(W)的渐近式：,（ 1.22）,（ 1.23）,截至状态的特征方程： 分两种情况： 当m=0时，由于 ，截至状态的特征方程为：即LP01模的归一化截至参数为： 当m 1时，由于 ，所以不能取U=0，截至状态的特征方程为： 即LPmn模的归一化截至参数为： LP01模的截至参数、远离截至状态的特性、场分布与HE11模相同； LP11模的截至参数为Vc = 2.405，与TE01、TM01、 HE11模相同；,
