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1、第四章 流体动力学分析基础,本章任务：流体运动的三大控制方程连续性方程、动量方程、能量方程(积分式)及其应用。,一、雷诺输运定理 二、流体流动的连续性方程 三、理想流体的能量方程 四、不可压理想流体的伯努利方程 五、动量定理 六、角动量定理,一、雷诺输运理论,1 系统(system)和控制体(control volume),系统：包含一定流体质量的流体团。系统随流体一起运动，旋转和变形，系统内流体质量不变。-拉格朗日体系,控制体：一个固定不变的流动空间即为控制体。控制体一旦取好，其位置、体积与形状不变，流体通过控制面流进、流出控制体。-欧拉体系,2、雷诺输运理论,设表示单位质量流体具有的物理量
2、，那么系统内的物理总量为：,系统(System),II,控制体(Control Volume),II,I,III,CV,CS1,CS2,CS=Control Surface,雷诺输运定理的推导,设参数B是系统内流体的任一物理量(质量，能量，动量等），b是单位质量的物理量。即 b =dB/dm。,雷诺输运定理的推导,在t时刻：,系统所占的空间为II，并与所选的控制体重合，V=VII,在t+dt 时刻：系统所占的空间为II+III，系统的体积为：V=VII+VIII，控制体的体积为：V= VII+VI,(1),当dt0，II II，III 0，II=CV(控制体体积),控制面的外法向方向(流出)为
3、正, 内法线方向(流出)为负。,(2),(4),(3),注：CS1+CS2=CS将(2)，(3)，(4)代入(1)式，得到：,雷诺输运方程,将拉格朗日方法求系统内物理量对时间的变化率转化为欧拉方法计算的公式。物理意义：表示系统内物理量B随时间的变化率，等于控制体内该物理量随时间的变化率加上通过控制面该物理量的净流出率。也可以理解为：物质导数=当地导数+迁移导数,雷诺输运定理表明：单位时间内系统物理量的变化等于控制体内物理量的时间变化率与从控制面流出物理量的净流量之和。此定理将拉格朗日下的物理量变化与欧拉体系下的物理量变化联系起来。,物理意义,二、连续性方程 （积分形式）1、流体流动的连续性方程
4、,n表示控制体表面的单位外法矢。连续性方程表明：控制体内总质量随时间的减少率等于流出控制体的净质量流量。,根据质量守恒定理：系统内的流体质量不随时间变化，所以：,流管内的不可压流,流管内的稳定流,思考：已知管道中油的质量流量为Qm=250kg/s, d1=200 mm, d2=100mm, 求流量和1、 2两管中的平均流速。,街道狭谷风效应,思考：在微风的日子里，高层建筑附近有大风，人们夏天喜欢在此乘凉；而在有45级风的日子，高层建筑附近的风变得更大？为什么？,三、理想流体的能量方程,由热力学第一定律,1. dE/dt,设e表示单位质量流体具有的总能量，包括位置势能、动能和内能,那么，根据雷诺
5、输运定理,2,那么，对于理想流体能量方程为：,设质量力只有重力（以势能形式考虑），在理想流体条件下只有表面力压强作功。即：,system,x,y,z,- 定常、绝热、无轴功交换时理想流体的能量方程,若不计外界加入的热量（绝热过程），且定常：,=0，定常,=0，绝热,应用到一维流动：,应用到一个微元流管 (即流线)上,均匀流动：,忽略温度效应：,沿流线的伯努利方程,以上用积分的方法推导的，下面用微元的方法推导沿流线的伯努利方程。,四、伯努利方程 1. 沿流线的伯努利方程,整理后得到：,将流体微团的加速度转换为欧拉形式的加速度，沿流线s方向的质点导数式为,(一维欧拉运动方程),为将方程沿流线积分，
6、两边乘以ds并移项，由于,(沿流线),将上式沿着流线s积分,一维欧拉运动方程沿流线的积分式,(沿流线),对于不可压缩 流体的定常流动,(沿流线),伯努利方程(1738年),前面的推导是欧拉后来给出的！, 流体无粘性(理想流体) 重力场(质量力为重力) 沿流线方向的一维流动 不可压缩流体 定常流动 绝热流动,注意：伯努利方程的应用条件：,2.伯努利方程中各项的物理意义,通常，我们把伯努利方程写成以下形式,z ：位置水头,单位重量流体所具有的位置势能（m）,p/g ：压强水头，单位重量流体所具有的压强势能(m)(静压水头，测压水头）,v2/2g ：速度水头，单位重量流体所具有的动能, m。,z+p
7、/g+v2/2g ：总水头，单位重量流体所具有的总机械能,一般用H表示，单位为m。,意义：对定常绝热不可压的理想流动，沿流线总水头不变，即沿流线流体的压力能、位置能与动能可相互转化，但总值不变机械能守恒。例如：水滴石穿；水力发电；,总水头线和静水头线,基准,（1）皮托管-测流速 Pitot tube,3、伯努利方程的应用,(滞止点),(速度探针),使用过程中的注意事项： （1）必须与来流方向一致； （2）影响因素的分析,如气体的压缩性、粘性以及皮托管本身对流场的影响。,工程应用中,(f为速度系数),(2)文丘里管-测流量（ Ventury Tube ）,根据总流的伯努利方程和连续性方程：,所以
8、，体积流量为：,工程上，考虑修正系数,（3）孔口出流敞口贮水箱侧壁小孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变，孔口出流速度？,由伯努利方程及连续性方程：,若A2A1,孔口流速不均匀,流道收缩,例4-1 两个相同容器内装有深为 h的水，容器底面上有一直径为d的圆孔。容器(a)中的水从空口自由流出，而 (b)的空口外接了一根内径为d长为L的圆管 。试求两种情况下的流量和1、2点的速度。（不计摩擦）,注意：控制面应尽可能取在已知参数最多的位置,五、动量定理,1. 定常流动的动量方程,根据雷诺输运理论：,动量定理：作用在系统上的合外力等于系统在该方向的动量的增加率，所以：,动量定理，适合于所有的
9、流动,定常流的动量方程:作用在控制体上的外合力等于由控制面流出的动量净流量。,(1) 对于定常流,(2) 请记住定常流动动量定理的实用形式： 教材P100，102,(4-35)（教材P100，不实用）,(4-38)（教材P102，不实用）,(实用形式),写成分量的形式：, 解题关键：1. 建立坐标系；2 .选取合适的控制体；3 .画出控制面上的所有表面力以及作用在控制体上的质量力；4. 根据动量定理、连续性方程以及伯努利方程求解；5. 无特殊要求，利用相对压强求解更简便,关于大气压强作用力的处理 压强力的公式为(教材P101)：(4-37b)如在全部闭合控制面上都作用一均匀压强pu（如大气压力
10、pa），因控制面是闭合的，所以围绕控制面的均匀压强所产生的静压强力为零，即(4-37c)因此，若控制面上作用的总压强包含这个均匀压强pu，为简化计算，可将总压强减去均匀压强（如大气压力pa）来计算压强力，其结果还是相同的。(4-37d)用此法可简化压强力的计算。,例4-3 如图所示，水从固定喷嘴定常喷出，垂直冲击一块平板。水离开喷嘴的速度V1=20m/s，喷嘴出口面积A1=0.005m2。假定水冲击平板后沿平板流动。水的密度为1000kg/m3，试确定支撑这块平板所需的水平力。,解：建立如图所示的坐标系；方程中所有矢量方向如力、速度都随坐标系走，在运用动量定理时，同向为正号，逆向为负号；(特别
11、注意：流体静压强的方向总是内法线方向，即指向流体。)选取如图虚线所示的控制体；,在x方向建立定常流动的动量方程：,受力分析： 方法1：用绝对压强分析控制体上的压力：,（注：Rx为假定方向，其实际方向由计算结果确定）,所以，由,可以得到：,（表明与假定方向相反）,所以支撑这块板的水平力的大小为2000N，沿x轴负方向。,方法2：用相对压强分析控制体上的压力：,所以，由,可以得到：,即,所以支撑这块板的水平力的大小为2000N，沿x轴负方向。,例4-4 有一金属水箱，高1m，横截面积为1m2，质量为40kg。水箱放在一磅秤上，如图所示。从水箱顶部面积A1=0.005 m2的开口处流入，通过侧壁底部
12、两个面积为0.002 m2的开口流出。入口处水的流速为V1=5m/s，出口处水的流速随着水箱中的水位不断上升而增加，当达到定常流动时，水箱内水位为0.9m，求此时磅秤的读数为多少牛顿？水的密度为1000kg/m3。,解： 建立如图所示的坐标系；,选取如图虚线所示的控制体； 在y方向建立定常流动的动量方程：,受力分析： 用相对压强分析控制体上的压力：,所以，由,可以得到：,所以磅秤对控制体支撑力的大小为9342.6N，沿y轴正方向。 则控制体对磅秤的作用力的大小为9342.6N，沿y轴负方向，所以磅秤上的读数为9342.6N。,例4-5 一个内径为d=0.34m，曲率半径R=0.53m的90的钢
13、弯头，质量mc=71.9kg，对焊在输水量Q=18m3/min的竖直管道上，弯头进口处压力表指示的表压pg=0.014MPa，弯头出口为大气压。如图所示，求定常流动时焊缝内支撑弯头的力。水的密度为1000kg/m3，假设弯头出入口截面速度均匀。,解： 建立如图所示的坐标系；,选取如图虚线所示的控制体； 将弯管对流体的作用力分解成x，y两个方向，大小分别为Rx，Ry,在x方向建立定常流动的动量方程：,在y方向建立定常流动的动量方程：,受力分析：,计算得：,计算得：,由于取的控制体是流体，所求得的力是弯管对流体的作用力。 所以支撑弯管了力则是流体对弯管的力，其大小分别为,，,在y方向上的净作用力为
14、,例4-6 如图所示一股射流以速度V0水平射到倾斜的光滑平板上，体积流量为Q0。求沿板面两侧的分流量Q1和Q2的表达式，以及流体对板面的作用力。忽略流体撞击的损失和重力的影响，射流内的压强在分流前后没有变化。 解： (1) 取控制体；,(2)由于流体对固体表面的作用力是固体表面的内法线方向，因此，可以建立如图所示的坐标系；,(3) 受力分析： i) 在x方向上流体所受外力的合力：,利用流体定常流动的动量定理,求V1，V2和V0之间的关系： 忽略流体撞击的损失和重力的影响的伯努利方程：,由于射流内的压强在分流前后没有变化，均为大气压力所以,而,所以,则,ii) 在y方向上流体所受外力的合力：,利
15、用流体定常流动的动量定理,所以板面对流体的作用力,则流体对板面的作用力,(与图示的y坐标方向相反),思考题：接上题，平板以速度u向右运动时，流体对板面的作用力。,所以板面对流体的作用力,流体对板面的作用力,思考题1： 已知矩形平板闸下出流宽度B=6m, H=5m, hc=1m, Q=30m3/s,不计水头损失。求水流对闸门推力。,思考2、一股速度为10m/s的水射向一静止导叶，如图示。已知Q0=8L/s求保持导叶静止需施加多大的力。,六 动量矩方程,1 动量矩定理,由动量矩定理，流体系统动量矩的时间变化率等于作用在流体系统上的外力对同一点的力矩矢量和，即：,对于定常流有：,既作用在控制体内流体
16、上的所有外力对某点的力矩矢量和等于流入、流出控制体表面的净角动量流率。,对于以一元定常不可压管流,既作用在控制体内流体上的所有外力对某点的矩等于流出控制体的动量对该点的矩减去流入制体的动量对同一点的矩。,平均化处理后有：,对于运动控制体（定常条件下）,注： 1. 用相对速度Vr来计算流量； 2. 用绝对速度V计算作用力； 3. 绝对速度=相对速度+相对速度，即：,或,例4-5， 一草坪洒水器在水平面(xy平面)内绕z轴等角速度旋转，转速为120rpm。如图所示，水从轴心垂直管进入，经过转臂两端的喷嘴喷出，进水流量Qi=0.006m3/s，喷嘴出口截面积A0=0.001m2，洒水器臂长R=0.2m，水的密度为1000kg/m3 (1) 为使洒水器维持120rpm的等角速度旋转，外界需加的阻力矩为多少？(2) 如果阻力矩为0，则洒水器的旋转角速度将增加至多少？,
