《[理学]概率论-8 【第七章 第一节 数学期望】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[理学]概率论-8 【第七章 第一节 数学期望】（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 随机变量的数字特征,第一节 随机变量的数学期望 第二节 随机变量的方差与标准差 第三节 随机变量的协方差和相关系数 第四节 切比雪夫不等式及大数定律 第五节 中心极限定理,7.1数学期望 一.数学期望的定义,例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数 40 60 70 80 90 100人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即,数学期望描述随机变量取值的平均特征,定义 1. 若XPX=xk=pk, k=1,2,n, 则称,定义 2. 若XPX=xk=pk, k=1,2,且,为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。,，则称,为r.v.X的
2、数学期望,二.几个重要离散型r.v.的期望,1.0-1分布的数学期望,EX=p,2. 二项分布B(n, p),3.泊松分布,例2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,分赌本问题,分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注a元. 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. 问如何分赌本?,定理1 若 XPX=xk=pk, k=1,2, 则Y=g(X)的期望E(g(X)为,离散型随机变量函数的期望,EX1：设随机变量X的分布律为,X,Pk,-1 0 1,离散型随机变量函数的期望,定义 3 若Xf(x), -x,为X的数学期望。,则称,连续
3、型随机变量的数学期望,定理2 若连续型随机变量X的密度函数为f(x),-x0),【例2】 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间,解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则,【设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)】,EX,二维随机变量的函数的期望,二维离散型随机变量的函数的期望 二维连续型随机变量的函数的期望,例1 设二维离散型随机变量( X，Y )的概率分布为：,X,Y,pij,-1 1 2,-10,求,的期望。,二维离散型随机变量的函数的期望,解 根据( X，Y )的联合概率
4、分布可得如下表格：,二维连续型随机变量函数的期望,定理 若二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y), -x, 则Z=g(X,Y)的期望,1. E(c)=c,c为常数; 2。E(cX)=cE(X), c为常数;,数学期望的性质,证明:设Xf(x),则,3. E(X+Y)=E(X)+E(Y);,证明: (1) (X,Y)为二维连续型随机变量设密度函数为f(x,y),数学期望的性质,(3-1) E(X+a)=EX+a (3-2) E(kX+a)=kEX+a,【7】 【若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)】,【球不可分辨的问题】,把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中。如果每一种方
5、法都是等可能的。,【例2】设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数,解:设Xj为第j组的化验次数，,Xj,Pj,1 101,X为1000人的化验次数，则,【例3】 若XB(n,p),求E(X),解:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,【EX】 设随机变量,均服从,分布，求随机变量,的数学期望,答:,【相互独立】,【EX】 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)， ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望,答:,小结,一维随机变量的数学期望一维离散型随机变量的数学期望一维连续型随机变量的数学期望 一维随机变量函数的数学期望一维离散型随机变量函数的数学期望一维连续型随机变量函数的数学期望 二维随机变量的数学期望二维离散型随机变量的数学期望二维连续型随机变量的数学期望 二维随机变量函数的数学期望二维离散型随机变量函数的数学期望二维连续型随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 【作业】：2，6.【P94】,
