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1、第四章 态和力学量的表象,问题的提出:,态函数是坐标参量,如果我们想了解在其他力学量的概率分布该怎样做？,相应的算符,在 范围内的概率,例：在同样的状态下，,在 范围内的概率？,根据完备性,在 范围内的概率,在 范围内的概率,特例：粒子在动量本征态，其本征值为 ，则,动量表述波函数,动量本征函数,在同样的状态下，,在 范围内的概率？,一. 量子力学态的表象,表示方法不唯一,表象: 态和力学量的具体表示方式。,例：,这是在坐标表象中态和力学量的表示,这是在动量表象中态和力学量的表示,对任意力学量Q,如何表示？,4.1 态的表象,类比 可知：,完备性,Hilbert空间基矢,在 方向的分量,态 可
2、看成Hilbert空间一矢量,本征值,本征函数,是态 中测量力学量 所得结果为 的几率。,Q表象中态 的矩阵表示：,3. 若有连续本征值,4. 归一化条件的矩阵表示,即：,普通矢量和态矢量表象的对比,4.2力学量算符的矩阵表示,1.力学量算符的矩阵表示,设一力学量 作用于态 得到另一态,在坐标表象中,=?,在 表象下,在表象 下？,本征值:,本征函数:,两边左乘 对 积分,利用,左侧：,令,即,是算符在表象 中的表示,比较平均值公式,n行 m列,在 表象下,2.力学量算符的特性,力学量算符为厄密算符,可见,而,所以,说明该矩阵的第n行第m列的矩阵元等于它的第m行第n列的矩阵元的共轭复数。,3.
3、算符在自身表象的矩阵：,力学量算符的矩阵表示为厄密矩阵。,令：,所以,算符在其自身表象中是一对角矩阵。,如 具有连续本征值 ,本征函数为,例: 求一维谐振子的坐标,动量及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。,利用公式,解 能级,能量本征函数,(1),其中：,(2),其中：,(3),其中：,4.1.求在动量表象中角动量,的矩阵元和,的矩阵元。,4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的 矩阵元。基矢：,4.3 量子力学公式的矩阵表示,1 归一化公式,表象下,2 平均值公式,表象下,2. 本征值方程,方程组有非零解的条件：,久期方程,求久期方程可得一组 值: 将 代入方程可求出相应的
4、本征矢。,3. 薛定谔方程,解:.本征值,设,例：一力学量 在某一表象的矩阵为 ， 求 本征值、正交归一本征函数,本征方程为,.本征函数,不同时为零的条件是,归一化条件,同理：,4.4 表象变换,一、态表象变换,矢量在不同坐标系中的变换,求 与 的关系:,分别点乘上式得：,求 与 的关系:,写成矩阵形式,即,的性质,幺正矩阵,可以证明：,2.量子态的表象变换,态矢量,设在 表象下,本征矢为,表象下, 本征矢为,之间的的关系？态的表象变换,右端左乘 积分,令,得：,类比：,不同态 ， ，同一表象,相同态 ，表象不同,u（x）是Q的本征矢,分别是A,B的本征矢,同一个量子态 在表象 中通过一幺正矩
5、阵S相联系。,可以证明： v 幺正矩阵,2. 变换矩阵的性质,证明：S为幺正矩阵,证,即：,二、力学量的表象变换,A表象本征函数,力学量算符 如何从 A 表象转换到 B 表象？,B表象本征函数,解决办法：首先设法将 建立联系,1.问题：,2.将 , 用 展开,3.求,三、对角化矩阵的变换幺正变化的形式,1.问题：自身表象力学量矩阵是对角矩阵，矩阵元是本征值。因此，求某一力学量的本征值，可将矩阵通过幺正变化变为自身表象。如何选取幺正矩阵？,可以证明 ：,即，S矩阵的第 l 列正是算符 F 对应于本征值 为本征函数，因此一般来说，要是算符对应矩阵对角化，就要求出F 对应的本征函数系，然后把对应于不
6、同本征值的本征函数按列排好以构成幺正矩阵S，则 必为对角化矩阵。,例：设力学量 F 在某一表象A中的矩阵为 ， 其中 为常数，求,1.F本征值、本征方程和在A表象中的正交归一本征函数。 2求使矩阵F在A表象中的本征方程。,解:1.设力学量 F 在某一表象A中的本征函数为,则 F 在A表象中的本征方程为,不同时为零的条件是,归一化条件,同理：,归一化条件,同理：,2对角化幺正矩阵S，将本征函数按列排列,由,对角元素刚好是本征值。,四、表象变换不变量,(1).标积,在A表象中：,在B表象中：,(2).归一化条件,在A表象中：,在B表象中：,(3).平均值,在A表象中：,(4).算符本征值,在A表象
7、,在B表象,(5).力学量矩阵的迹,A表象F,B 表象,五、 不变表达式,(2) 力学量矩阵的迹,A表象F,B 表象,定义：一个矩阵 A 的对角元素之和,在量子力学中，算符之间的一切代数关系式在表象变换下都是不变的。,(2).算符对态的作用,量子力学的基本公式在表象变换下是不变的，也就是说前面我们所涉及到的量子力学的基本公式是与表象无关的,解：设 的共同本征函数为,的本征方程,的久期方程为, 的本征值为,的本征方程,其中 , 设为 的本征函数共同表象中的矩阵,当 时，有,由归一化条件,由归一化条件,当 时，有,归一化的 对应于 的本征值,由以上结果可知，从 的共同表象变到 表象的变换矩阵为,对
8、角化的矩阵为,按照与上同样的方法可得的本征值为的归一化的本征函数为,利用S可使 对角化,优点： （1）运算简捷（2）不用在具体表象中讨论问题,1. 左矢（bra）与右矢（ket）,4.5 狄拉克符号,一.态的描述,完备性：,本征态，常用本征值或相应量子数标记,2. 内积 与,显然:,若： 则,3.本征态的正交归一条件,例如：坐标的本征矢,二、基本公式的狄拉克表示,1.本征方程,2. 薛定谔方程,无表象：,Q表象,3平均值公式,无表象：,Q表象,x表象,由完备性：,狄拉克表示：,连续谱,三、态矢量在具体表象中的狄拉克符号表示,1. 任意态矢量,分立谱,2. 展开系数 ：,展开系数 是态矢在 上的
9、分量。当所有的 都给定时，就确定了一个态 。因此态,3. 投影算符,把 代入,为一投影算符，对任一矢量运算后，把该矢量变为它的基矢 方向上的分矢量，或者说 的作用是把任意态矢量在 方向上的分量挑选出来。,4. 单位算符,同理，连续谱：,迪拉克符号表示的本征矢,连续谱,分立谱,四、算符和态在具体表象中的表示,无表象,Q表象，,而 算符的狄拉克表示,1.算符具体表象中的表示,2.任意态函数在具体表象中的狄拉克表示,动量在坐标表象中的本征函数,例如：1. 坐标在自身表象中的本征函数,坐标在动量表象中的本征函数,动量在自身表象中的本征函数,无表象,坐标表象,坐标算符,动量算符,对易式,坐标算符 本征函
10、数,动量算符 本征函数,任意态函数,动量表象,4.6 占有数表象,1. 问题的提出：,2.引入新算符,利用 可以证明,线性谐振子,为厄米算符,3. 哈密顿算符,令,即求解哈密顿算符的本征值问题转变为求N 算符本征值问题,反演式,已知,4. 对本征矢的作用,能量单位 可看作一个粒子,表示体系在这个态有n个粒子,5. 湮灭算符 , 产生算符,以 为基矢的表象为占有数表象,占有数表象在处理多粒子体系非常方便.,6. N 算符的本征值,上式是 算符N的本征方程,本征值即为量子数 n,因此能量的本征值,基态：n=0 态矢,7. 态矢递推公式,n=1 态矢,n 态矢,n=2 态矢,n=3 态矢,8.算符 在占有数表象中的矩阵表示,
