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1、第二章 信号的采样与重建,第二章 信号的采样与重建,数字信号处理系统的模拟接口 模拟信号的采样与重建 采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性 连续时间带通信号的采样 离散时间信号的采样与插值,研究内容：信号经采样后发生的变化（如频谱的变化） 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号） 由离散信号恢复连续信号的条件,2.1数字信号处理系统的模拟接口,数字信号处理，首先要对模拟信号数字化,图2.1 数字信号处理系统组成框图,抗混叠滤波器：模拟低通 采样保持器：将瞬时幅度保留 A/D转换器：模拟数字转换 D/A转换器：数字模拟转换,采样保持器模块模拟信号的采样与保持,按采样周
2、期对模拟信号采样，并保持一定的时间间隔。 理想的采样保持器输出是一阶梯型的波形，阶梯前沿的幅值与此时刻的模拟信号保持一致。,A/D转换器模块模拟数字转换与量化,图中小圆圈处的电平为量化电平，以最接近于当前实际电平的二进制数码表示。 A/D转换输出为数字信号（时间上离散，幅度上量化）,数字模拟转换与平滑滤波,D/A转换器每得到一个数字就建立一个新的电平，并在T内保持。它的输出信号是一阶梯状的连续时间信号。 平滑滤波器滤除镜像的高频分量，得到平滑的模拟信号。,数字信号处理的简化框图,2.2 模拟信号的采样与重建,采样周期T 采样频率角频率,等间隔采样,10,采样器,电子开关每隔T秒短暂地闭合一次，
3、将模拟信号接通，实现一次采样，开关的闭合时间远小于T。,如开关每次闭合秒，则采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为的脉冲，(如图1.1)脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度(如图1.1)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t)，则采样输出为一般很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。,理想采样,开关闭合时间0时，为理想采样。特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调
4、幅过程。用M(t)表示这个冲击载波，,则有,实际情况下，0达不到，但(35)max。同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分量进入，如 “绪论”中的图。,3）采样信号的拉氏变换 理想采样后，信号的拉氏变换在S平面上沿虚轴周期延拓，也即 在S平面上的虚轴上是周期函数。,采样的恢复（恢复模拟信号）,如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折迭频率则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有 S/2 将采样信号 通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率S/2，特性如图1.5,采样
5、信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：也就恢复了模拟信号：y(t)=xa(t)实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。,G(j) g(t),G(j),T y(t)=xa(t)图1.5 采样的恢复,0 S/2 ,采样内插公式,讨论采样信号 通过理想低通滤波器 G(j) 的响应过程。理想低通 G(j) 的冲激响应为,频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为,这里，g(t-nT) 称为内插函数。,所以,它表明连续时间函数可由它的采样值来表达。,内插函数,特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上，函数值为零。,内插
6、过程：被恢复的信号y(t)在采样点的值等于xa(nT),采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸叠加而成的。这也是理想低通滤波器G(j )的响应过程。,内插公式的意义: 证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息奈奎斯特定律。,29,例2.1 采样的混叠。对一个模拟信号va(t)进行等间隔采样，采样频率为200Hz，得到离散时间信号v(n)。va(t)由频率为30Hz、150Hz、170Hz、250Hz、330Hz的5各正弦信号的加权和构成,观察采样后信号的混叠效应。,解：采样周期T=1/200s=0.05s。 产生的离散时间信
7、号v(n)为：,从上式可以看出， 150Hz、170Hz、250Hz、330Hz4个频率的信号超过了采样频率的一半，产生混叠。,30,混叠后分别等价于,离散时间序列仅由3个归一化数字角频率为,的正弦序列组成。,31,拉氏变换、付氏变换与z变换的关系,A、拉氏变换与z变换理想采样的拉氏变换：对照采样序列的z变换：显然，当 时，采样序列的 z 变换等于理想采样信号的拉氏变换。,因,B、理想采样信号的拉氏变换与连续信号的拉氏变换,所以,这说明，从理想采样信号的拉氏变换到采样序列的z变换，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射变换，这个映射关系就是 ；理想采样信号的拉氏变换等于连续信号的拉氏变换在虚轴
8、上的周期延拓。,（1）,映射关系 分析： 设 jrej 则reje(j)TeT ejT 因此 ，reTT/fs0 时 ， j ，r1 ，z= ejT j映射到 z 平面正是单位圆。,引出了数字频率和模拟域频率的关系。 即数字频率是模拟域频率对采样频率 fs 的归一化。数字频率代表了序列值变化快慢的速率，所以它只有相对的时间意义（相对于采样频率fs），而没有绝对时间和频率的意义。,c、 付氏变换与z变换付氏变换是拉氏变换在虚轴上的特例：z=esT=ejT代入（1）式采样序列在单位圆上的z变换就等于理想采样信号的付氏变换（即频谱）。,小结,理想采样、采样信号频谱、采样定理、采样信号恢复,拉氏变换、
9、付氏变换与z变换的关系,2.3 采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性,滤波器的幅频特性 低通滤波器在通带内逼近1，阻带内逼近0,性能要求：,技术指标,通带波动 最小阻带衰减At,式中，通带内,阻带内,抗混叠滤波器的指标特性,理想的抗混叠滤波器,理想滤波器在实际应用中无法实现。设计过渡带,41,过渡带宽均和采样频率直接相关。采样频率越低，s/2越靠近c，则过渡带越窄，对抗混叠滤波器的要求越高。 为了降低对模拟抗混叠滤波器的指标要求，可以采取提高采样频率的方法。,高采样频率,低采样频率,42,平滑滤波器的指标特性,D/A转换器的输出端需要一平滑滤波器。,零阶保持器,零阶保持器的输入和输出信号,零阶
10、保持器单位脉冲响应,图：零阶保持器 (zero-order holder)的模型和单位脉冲响应,零阶保持器的频率响应,零阶保持器的频率响应,它具有指数衰减的特性，并且在,45,滤除s/2以上的分量，平滑滤波器应当逼近,两点困难：带内为单调上升的模拟滤波器相位超前T的非因果滤波器,平滑滤波器,只要选择的采样率s远大于2c，,便可以写成,c远小于s/2时，平滑滤波器的频率响应可近似地看作是平坦的，而相位超前半个采样周期的非因果模拟系统是无法实现的。,2.4 连续时间带通信号的采样,带通信号： 由低通信号调制而成 为了防止混叠，,1、模拟信号的频谱是带通的，大量的频率分量为零，采样所得的离散时间信号
11、的频率同样在很宽的频带上其频率分量为0 。 2、一般情况下，1和2均比较高，采样频率s就更高，甚至无法实现。,降低采样率s，采样后的带通信号会产生混叠，但上述带通信号的大量频率分量为零，如果仅仅与零分量的频带产生混叠，带通信号依然可以重建。,令带通信号带宽为,假设最高频率2是带宽的整数倍,选择合适的采样率s来满足这个条件,采样率s比奈奎斯特采样频率2 2要低，称为欠采样 欠采样信号的傅里叶变换的表达式：,确保平移后，所有频率分量不重叠，从而没有混叠。,经过一个理想的通带为,增益为T的带通滤波器，可以恢复出原信号。,如果2不是带宽的整数倍，可以人为地向左或向右扩展，使得带通信号的最高频率是扩展带
12、宽的整数倍。,51,2.5 离散时间信号的采样与插值,离散信号的采样整数M倍抽取离散时间信号的采样实际上是一抽取过程，它使采样率降低。,原有的离散信号的采样周期为T，经M倍抽取后为T。,52,y(m)与x(n)的DTFT的关系,如果信号满足,抽取后的信号无混叠，否则抽取后的信号将产生混叠，引起混叠失真。,57,为防止混叠,应滤除高频分量， 采用一抗混叠低通滤波器：,例2.2 输入信号x(n)为归一化频率f1=0.043,f2=0.31的两个正弦信号相加而成，N=100，按因子M=2作抽取：不使用低通滤波器；使用低通滤波器。分别显示输入输出序列在时域和频域中的特性。,59,61,离散信号的插值整数L倍内插,最简单的插值方法是插零。,y0(m)频谱中不仅包含基带频率，而且包含以采样频率的谐波为中心的基带的镜像。,为恢复基带信号并去除不需要的镜像分量，有必要用一数字低通滤波器对信号y0(m)进行滤波。,如要求y(0)=x(0)，则应有G=L，即对理想的内插器要求能恢复抽取前的信号，增益必须等于。,66,例2.3 输入信号x(n)为归一化频率f1=0.043,f2=0.31的两个正弦信号相加而成，长度N=50，内插因子为2：不使用低通抗镜像滤波；使用低通抗镜像滤波。分别显示输入输出序列在时域和频域中的特性。,
