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1、1 3.线性规划 一、知识要点 1.确定平面区域的方法确定平面区域的方法 （1）点定域法：代入特殊点检验. （2）符号定域法： ., 0;, 0 ., 0;, 0 0 上半平面下半平面 右半平面左半平面 BB AA CByAx 2.求求线线性目性目标标函数的最函数的最值值的方法：的方法：截距法. 3.求求线线性目性目标标函数的最函数的最优优整数解整数解 1.逆平移法； 2.顺平移法； 3.不定方程调整法. 4.求非求非线线性目性目标标函数的最函数的最值值的方法：的方法：几何意义法. 一、考点演练 题题型一：确定平面区域型一：确定平面区域 1.已知，若Rm 0 03 052 ),( ymx x
2、yx yx ，则实数的取值范围是25),( 22 yxyxm _.【答案】 3 4 , 0 【解析】令平面区域为 0 03 052 ),( ymx x yx yx M，平面区域为 N.25),( 22 yxyx 显然平面区域 M 的边界线交圆周052yx 于点，边界线25 22 yx)0 , 5(),4 , 3(CA 过原点.mxy （1）当时，如图 1，舍去.0 mNM （2）当，即时，如图 2.0 m0m 当直线从轴的位置旋转到过点mxyx 时，此时.)4, 3( BNM 3 4 m 所以，即. 3 4 0 m 3 4 , 0m 2.已知函数，点集 xxxf2)( 2 ),(yxM ，2)
3、()(yfxf0)()(| ),(yfxfyxN ，则所构成平面区域的面积为NM I _.【答案】2 【解析】 通过图形的割补可知所构成平面区域为两NM I 个四分之一圆，于是.2 2 1 2 rS 题题型二：求型二：求线线性目性目标标函数的最函数的最值值 3.已知点是不等式组表示),(yx 0 4 1 cbyax yx x 的平面区域内的一个动点，且目标函数 2 的最大值是 7，最小值是 1，则yxz 2 的值等于_.【答案】 a cba 2 【解析】由的最大值为 7，联立yxz 2 ，得点. 4 72 yx yx ) 1 , 3(A 由的最小值为 1，联立，yxz 2 1 12 x yx
4、得点.) 1, 1 ( B 则直线过、两点，0cbyax) 1 , 3(A) 1, 1 ( B 代入解得， ab ac2 于是.2 2 a aaa a cba 4.设，在约束条件下，目标函数1m 1 yx ymx xy 的最大值小于 2，则的取值范围是zxmym _.【答案】(1,12) 【解析】作出可行域如图. 因为，所以直线过原点且倾斜角范1mmxy 围为，目标函数化为 24 zxmy ，则直线与直线 m z x m y 1 mxy 互相垂直，当直线过最x m y 1 m z x m y 1 上顶点 A 时取最大值. 则，解之得. 2 1 AA AA AA myx mxy yx 2121m
5、 又因为，所以.1m121m 题题型三：求非型三：求非线线性目性目标标函数的最函数的最值值几何意几何意义义法法 5.如图，点 A、B 分别在 OM、ON 上，且 AB/MN，2OA=OM，若 OByOAxOP ，则当终点 P 落在阴影部分(含边界)时，),(Ryx 的取值范围是_.【答案】 1 2 x xy 4 , 3 4 【解析】当点 P 落在线段 AB 上时，由 ，且 A、P、B 三点共线，所以 OByOAxOP .1 yx 当点 P 落在 MN 上时，由 2OA=OM，得 . ON y OM x OByOAxOP 22 因为 M、P、N 三点共线，所以，即1 22 yx .2 yx 于是
6、当点 P 落在阴影部分时，.21yx 分离常数得，令，1 1 1 1 2 x y x xy 1 1 x y t 3 则 为过定点与可行域内的t) 1, 1( 21 20 20 yx y x 动点的直线的斜率.),(yx 因为，所 3 1 21 01 PA k3 01 21 PAB k 以，于是.3 3 1 t41 1 1 3 4 x y 6.已知变量满足，则yx, 20 250 20 xy xy y 的取值范围是_.【答案】 3 1 xy u x 5 14 , 25 【解析】 7.设实数满足，则yx, 02 052 02 y yx yx 的取值范围是_.【答案】 xy xy 22 3 2 11
7、 , 2 【解析】作出约束条件表示的平面区域如图，则 A(3,1)，B(1,2). 因为，所以令，则 y x x y xy xy 3 3 22 t x y . t t xy xy1 3 3 22 因为关于 单调递增，所以只需求出 t tu 1 3 t 的取值范围即可求出的取值范围.t t tu 1 而的几何意义是可行域内的点与原点 x y t ),(yx 的连线的斜率，所以，)0 , 0( 3 1 min OA kt .2 max OB kt 于是，23 3 1 3 min u ， 2 11 2 1 23 max u 即. 2 11 , 2 3 22 xy xy 8.已知实数满足，则yx, 0
8、52 04 02 yx yx yx 的最小值为_.【答案】2510 22 yyx 2 9 【解析】作出可行域如图. 4 令，则 2222 )5(2510yxyyxM ，其中为点与点之间的距 2 dM d)5 , 0(),(yx 离. 上图象知，则 2 3 2 250 min d . 2 9 2 3 2 min M 题题型四：型四：线线性性规规划的划的实际应实际应用用 9.学生的体质与学生饮食的科学性密切相关，营养 学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提 供 0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质， 0.06kg 的脂肪.已知 1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水 化合
9、物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费 28 元； 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白 质，0.07kg 脂肪，花费 21 元.为了满足高中学生日 常饮食的营养要求，每天合理搭配食物 A 和食物 B，则最低花费是_元. 【答案】16 【解析】设每天食用食物 A，食物 B，xkgykg 总花费为元,则目标函数为.z2821zxy 其中满足的约束条件为, x y ，即. 0.1050.1050.075 0.070.140.06 0.140.070.06 0,0 xy xy xy xy 775 7146 1476 0,0 xy xy xy xy 作出可行域如图所示: M 将目标函数变形为，2821zxy 4 321 z yx 显然，当直线过点 M 时，纵截距最 4 321 z yx 小. 由，得. 775 1476 xy xy 1 4 ( , ) 7 7 M 所以每天同时食用食物 A 和食物 B 的 1 7 kg 4 7 kg 花费最小，为（元）. 14 282116 77 z
