《§10.不等式选讲专题能力提升训练祥细解析（全国通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§10.不等式选讲专题能力提升训练祥细解析（全国通用）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、114.不等式选讲专题能力提升训练一、知识要点1.三角不等式三角不等式（1）；bababa（2）cbbaca2.基本不等式基本不等式（1）当时.Rba,，abba222，2)(2 22baba22 .2abab当且仅当时，取号.ab“（2）当时.Rba,，2abab2 .2abab当且仅当时，取号.ab“（3）当Rcba,，222abcabbcca abR，当且仅当时取号.abc“（3）当时.Rcba,，3333(0,0,0)abcabc abc.3 3abcabc当且仅当时取号.abc“3.幂幂平均不等式平均不等式.2222 12121.(.) .nnaaaaaan4.分数的分数的单调单调性
2、性若，0, 0, 0nmba则.ba nbna mamb ab15.绝对值绝对值不等式不等式（1），220;axaxaxaxa 当时，或22.xaxaaxa （2），)()()()()(xgxfxgxgxf.)()()()()()(xgxorfxgxfxgxf（3）)()()()(22xgxfxgxf，0)()()()(xgxfxgxf)()()()(22xgxfxgxf.0)()()()(xgxfxgxf（4）多个绝对值符号的不等的解法即与，)()()(xhxgxf)()()(xhxgxf用零点分区间讨论法.2二、考点演练1.设函数.( ) |2|(0)f xxaxaa（1）证明：；1( )
3、()6f xfx（2）若不等式的解集为非空集，求实数的取值范围.1( )2f x a【解析】 （1）112( )()(|2|)(|)f xfxaxaaaxxx 1212(|)(|2|) |()()|(2)()|xaaxaaxaaxaaxxxx （当且仅当时取等号）.1212|2| |2 |6| |xxxxxxxx1x 2.设函数. 211f xxx（1）求的解集； 2f x （2）已知函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值. f xmba,abm22ab【解析】 （1）. 3 ,1 12112, 12 13 ,2x xf xxxxxx x 3由；由；由.3211xxx 11102 22x
4、x x 122332xx x 不等式的解集为. 2f x 2|03x xx或（2）由函数的定义域为，根据函数图象知时，函数的最小值为. f xR1 2x f x13 22f所以，得.222223,222ababababab229 8ab当且仅当时，的最小值为.ab22ab9 83.若关于的不等式有解，记实数的最大值为.x231xxmmM（1）求的值；M（2）正数满足，求证：., ,a b c2abcM111abbc【解析】 （1）因为，所以有解，只需，23325xxxx 231xxm15m解得，所以.64m 4M （2）由，得24abc 11111111 1221444abbcab bcabb
5、cabbcabbcbcacbc ab AA，当且仅当时取等号. 11111111 1221444abbcab bcabbcabbcabbcbcacbc ab AA,2ac ab4.设函数. 12f xxaxa（1）当时，解不等式；1a 3f xx（2）当时，证明：.0a 2f x 【解析】 （1）当时，.1a 13 ,2 12112,12 3 ,1x xf xxxxxx x 4由，得或或. 3f xx1 2 33xxx 112 23xxx 1 33x xx 解得或或，即的解集为.31 42x 112x312x 3f xx3 3,4 2（2）. 113,1112,2 13,2xaxaa af x
6、xaxxaxaaa axaxa 当时，；1xa 2f xaa当时，；2ax 1 2af xa当时，.1 2axa 12 2af xaaa所以，所以. min122af xa 2f x 5.已知不等式的解集为.0123xx),(0x（1）求的值；0x（2）若函数有零点，求实数的值.01)(xmxmxxf)0(mm【解析】 （1）由，得或，解得.3210xx 33210xxx 33210xxx 2x 于是.02x （2）问题等价于关于的方程（）的有解.x12xmxm0m 因为，所以关于的方程1111xmxxmxmmmmmmx（）有实数根，只需.12xmxm0m 12mm又因为，所以，解得.12mm
7、12mm1m 6.已知函数，.( )23f xxx215( )32(1)4g xxmx5（1）求不等式的解集；( )6f x （2）若对于，求实数的取值范围. 1,1x ( )( )g xf xm【解析】当时，即恒成立；10x 21532(1)324xmxxx 33214xmx 因为，所以当且仅当时，取到最小值 3，故，即.10x 1 2x 334xx321m 1m 综上，的取值范围是.m 1,17.已知函数，.( ) |2|23|f xxax( ) |1| 2g xx（1）解不等式；|( )| 5g x （2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.1xR2xR12()()f xg x
8、a【解析】 （1）由，得，解得.|1| 2| 5x5 |1| 25x 7 |1| 3x 24x 不等式的解集为.( 2,4)（2）因为任意，都有，使得成立，所以.1xR2xR12()()f xg x |( ) |( )y yf xy yg x又，( ) |2|23| |(2)(23)| |3|f xxaxxaxa( ) |1| 22g xx 所以，解得或，即.|3| 2a1a 5a ), 15,(a8.已知函数.( )21f xxx（1）解关于的不等式；x( )4f xx6（2）设，试比较与的大小.,( )a by yf x2()ab4ab【解析】 （1）由，21(1) ( )213( 12)
9、 21(2)xx f xxxx xx 得或，或.13214xxxx 121234xxx 22214xxxx 所以不等式的解集为.(, 31,) （2）由（1）知，所以.( )3f x 3,3ab由，且，得，2()(4)224(2)(2)ababaabbab3,3ab20,20ab即，所以.(2)(2)0ab2()4abab9.已知，函数的最小值为 2.0,0ab f xxaxb（1）求的值；ab（2）证明：与不可能同时成立.22aa22bb【解析】， f xxaxbxaxbababab . minf xab由题设条件知，. min2f x2ab（2）由（1）及基本不等式，得，.22abab1a
10、b 假设与同时成立，则由及，得.22aa22bb22aa0a 1a 同理，这与矛盾.1b 1ab 1ab 故与不可能同时成立.22aa22bb10.已知函数，(，)，若关于的不等式的整数解( )21f xxa( )2g xxm amRx( )1g x 有且仅有一个值为.2（1）求整数的值；m（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围.( )yf x1( )2yg xa【解析】7（2）由的图象恒在函数的上方，得. yf x 1 2yg x 102f xg x对任意恒成立.212axxxR设，则. 212h xxx3 ,2 ( )4, 21 3 ,1x x h xxx x x 由在上是减函
11、数，在上是增函数，得时，取得最小值.( )h x,11,1x ( )h x3故，即的取值范围是.3a a,3（或，故）. 212112133h xxxxxxx3a 11.已知函数.( ) |1|f xx（1）解不等式；(1)(3)6f xf x（2）若，且，求证：.| 1,| 1ab0a () |( )bf aba fa【解析】（2）要证，只需证，只需证.() |( )bf aba fa|1| |abba22(1)()abba而，从而原不等式成立.22222222(1)()1(1)(1)0abbaa babab 12.已知函数.( ) |1|2|f xxx（1）求证：；( )1f x （2）若
12、方程有解，求实数的取值范围.22a +2( ) 1f x a x【解析】 （1）( ) |1|2|(1)(2)1.f xxxxx（2）要使方程有解，22 222221 1112, 111aaa aaa 222( ) 1af x a 只需，即或或|1|2|2xx1, 122x xx 12, 122x xx 2, 122,x xx 8解得，或，故的取值范围是1 2x 5 2x x15(, ,).2213.已知函数.( ) |21|f xx（）若不等式的解集为，求实数的值；1()21(0)2f xmm , 22, m（）若不等式对任意的恒成立，求实数的最小值.( )2|23|2y yaf xx, x yRa【解析】 （）由条件得，得，所以.122 mx21 21mxm23m（）原不等式等价于.yyaxx223212而，所以，则.4)32() 12(3212xxxx422yya4)24(2maxyya当且仅当时，的最小值为 4.1ya14.已知函数
