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1、 1【经典例题经典例题】【例 1】 （2012 湖北）湖北）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A1- B- C D2 12 1 2 1 【答案】A 【解析】令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为 S1，围成 OC 为 S2，作对称轴 OD，则过 C 点S2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积，S2=()2-=在扇形 OAD 中为扇 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 2 8S1 2 形面积减去三角形 OAC 面积和，=12-=，S1+S2=，扇形 OA
2、B 面积S2 2 S1 2 1 8 1 8 S2 2 - 2 16 - 2 4S=，选 A 4 【例 2】 （2013 湖北）湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)( )A. B. C. D. 1261256516812575【答案】B【解析】X 的取值为 0，1，2，3 且 P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，故 E(X)027 12554 12536 1258 125123 ，选 B.27 12554 12536 1258 1256 5【例 3】 （
3、2012 四川）四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通 电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪 亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( )A. B. C. D. 14123478【答案】C【解析】设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意满足条件0 x 4， 0 y 4，)2的关系式为2xy2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为 16 平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为 12 平方单位，故概率为 .12 163 4 【例
4、 4】 （2009 江苏）江苏）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽 取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 . 【答案】0.2 【解析】从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是： 2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为 0.2 【例 5】 （2013 江苏）江苏）现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m7，n9)可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的 概率为_【答案】2063【解析】基本事件共有 7963 种，m
5、 可以取 1，3，5，7，n 可以取 1，3，5，7，9.所以 m，n 都取到奇数共有 20种，故所求概率为.20 63【例 6】 （2013 山东）山东）在区间3，3上随机取一个数 x，使得|x1|x2|1 成立的概率为_【答案】13【解析】当 x2 时，不等式化为 x1x21，此时恒成立，|x1|x2|1 的解集为.在1，)上使不等式有解的区间为，由几何概型的概率公式得 P .3，31，331 3（3）1 3【例 7】 （2013 北京）北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优 良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染
6、某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天（1）求此人到达当日空气重度污染的概率； （2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【答案】 ；3 月 5 日2131213【解析】设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i1，2，13)根据题意，P(Ai)，且 AiAj(ij)1 13（1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染” ，则 BA5A8.3所以 P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).2 13（2）由题意可知，X 的所有
7、可能取值为 0，1，2，且 P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，4 13P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，4 13P(X0)1P(X1)P(X2).5 13所以 X 的分布列为X012P5 134 134 13故 X 的期望 E(X)012.5 134 134 1312 13（3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大【例 8】 （2013 福建）福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可23以获得 2 分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得 3
8、分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖25中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品 （1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求 X3 的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期 望较大？【答案】 ；方案甲1115【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响记“这 22 32 5人的累计得分 X3”的事件为 A， 则事件 A 的对立事件为“X5” ，因为P(X5) ，所以 P(A)1P(X5)，2 32 54 1511 15即这两人
9、的累计得分 X3 的概率为.11 15（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人选择方案甲抽 奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，(2，2 3)(2，2 5)所以 E(X1)2 ，E(X2)2 ，2 34 32 54 5从而 E(2X1)2E(X1) ，E(3X2)3E(X2).8 312 54因为 E(2X1)E(3X2)， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响
10、2 32 5记“这两人的累计得分 X3”的事件为 A， 则事件 A 包含有“X0” “X2” “X3”三个两两互斥的事件，因为 P(X0) ，P(X2) ，P(X3) ，(12 3) (12 5)1 52 3(12 5)2 5(12 3)2 52 15所以 P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，11 15即这两人的累计得分 X3 的概率为.11 15（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为 X2，则 X1，X2 的分 布列如下：X1024P1 94 94 9所以 E(X1)0 2 4 ，1 94 94 98 3E(X2)036.9 2512 25
11、4 2512 5因为 E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大 【例 9】 （2013 浙江）浙江）设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球 得 2 分，取出一个蓝球得 3 分 （1）当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列；（2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E ，D ，求5359abc. 【答案】321 【解析】 （1）由题意得，2，3，4，5，6.P(2)
12、 ，3 3 6 61 4P(3) ，2 3 2 6 61 3P(4).2 3 12 2 6 65 18P(5) ，2 2 1 6 61 9P(6)，1 1 6 61 36所以 的分布列为X2036P9 2512 254 25523456P1 41 35 181 91 36（2）由题意知 的分布列为123Pa abcb abcc abc所以 E ，a abc2b abc3c abc5 3D1 22 23 2 ，5 3a abc5 3b abc5 3c abc5 9化简得解得 a3c，b2c，2ab4c0， a4b11c0，)故 abc321. 【例 10】 （2009 北京理）北京理）某学生在上
13、学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1 3，遇到红灯时停留的时间都是 2min.（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【答案】；4 273 8 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基 础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. （1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件 A 的
14、概率为 11141133327P A .（2）由题意，可得可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）.事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯” （k 0，1，2，3，4） ，4 41220,1,2,3,433kkkPkCk ，即的分布列是02468P16 8132 818 278 811 816的期望是163288180246881812781813E .【课堂练习课堂练习】1.（2013 广东）广东）已知离散型随机变量 X 的分布列为X123P35310110则 X 的数学期望 E(X)( )A. B2 C. D332522.（2013 陕西）陕西）如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区 域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地
