《数学奥数竞赛押 题班试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学奥数竞赛押 题班试题（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、代数变形 王建伟1.恒等变形 2.换元 3.换一种等价的表述 题目：题目：1 已知中，三边长为等差数列，且。求 b 的取值范围。ABC, ,a b c22221abc2 实数 a，b，c 和正数使得有三个实根，且满足：32( )f xxaxbxc123,x x x（1）；（2）。求的最大值。21xx12 32xxx332279acab 3若，求的最小值。44log (2 )log (2 )1xyxy|xy4设二次函数满足条件：2( )f xaxbxc（1）；（2）当时，；（3）当时，。( 1)0f xR( )f xx(0,2)x2(1)( )4xf x求 m 的取值范围，使得存在实数 t，对
2、tm 之间的每个 x 都有。()f xtx5已知满足条件：2( )f xaxbxc（1）；（2）；（3）0a |( )| 1,| 1f xx当时001 | 22bxxa ，求证：。5( )| 24f xx ，当时6求函数的值域。232yxxx7求最小的实数 k，使得对任意实数 a，b 都有：。222 223()()4a b abk aabb8试求出所有的实系数多项式，使得对满足的所有实数 a，b，c 都有( )P x0abbcac。()()()2 ()P abP bcP caP abc9求最小的实数 M，使得对一切实数 a，b，c，都成立不等式。2222222222|()()()|()ab a
3、bbc bcca caM abc10给定正实数 m，对满足的一切一切正实数 a,b,c，求的3abcm111 111abc取值范围。11给定正整数，求最小的正数，使得对于任意的，只要3n (0,),1,2,2iin，就有。2 12tantantan2nn12coscoscosn12求证：对任意正实数 a,b,c，都有。 222222312abcabbcca 数列1将 8128 的小于自身的全体正约数从小到大排成，求证：12,na aa32 22222222 12123128127 2()3()()8128nnaaa aaaaan aaa2求所有的正整数，使得。其中，12,na aa011129
4、9 100nnaaa aaa01a 。2 11(1)(1)1,2,1kkkkaaaakn3已知定义域为的函数满足（1）若，则。 （2）对于所有正实数R( )f xxy( )( )f xf y，有。求证：存在实数。, x y2( )( )()2xyf xf yfxy00,()0xf x使4已知 a，b，c 为正实数，求证：。2223 ()()()()()()4abc ac abbc abac cb5已知，且均不大于，试求0, ,1x y z|,|,|xyyzzx1 2的最大值。 （注意到条件，结论都关于对称） 。Sxyzxyyzzx, ,x y z6已知，且。求证：, , , , ,a b c
5、x y zR222222()()3,()()4abc xyzabcxyz。0axbycz7设，求最小的 k，使得对任意的，存在121,2,19,(,)kMAa aaMbM，满足，或，或。 （可以相同） 。,ija aAiabijaabijaab,ija a求最小的 k列出关于 k 的不等式。 对所有的 19 个数找出 A。 几何 杨冠夏12004 年全国高中数学联赛加试一年全国高中数学联赛加试一锐角中，AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 交于 H，以 DE 为直径的圆分别交 AB，ABC AC 于 F，G 两点，FG 与 AH 相交于点 K，已知 BC=25。BD=20，BE=7。求
6、AK 的长。GHLBEFADC22005 年联赛加试一年联赛加试一在中，设 ABBC，过点 A 做的外接圆的切线 l，又以点 A 为圆心，AC 为半径ABCABC 做圆分别交线段 AB 于 D，交直线 l 于点 E，F。证明：直线 DE，DF 分别通过的内心与ABC 一个旁心。jIDI/BMEAF32005-试题试题 3内接于单位圆，三个内角 A，B，C 的平分线延长后分别交此圆于点，则ABC11,1,A B C111coscoscos222?sinsinsinABCAABBCCABC IAB1CA1BC1A242005 联赛联赛-试题试题 15过抛物线上一点 A（1，1）作抛物线的切线，分别
7、较 x 轴于点 D，交 y 轴于点 B，点 C2yx在抛物线上，点 E 在线段 AC 上，满足。点 F 在线段 BC 上，满足，且1AE EC2BF FC。线段 CD 与 EF 交于点 P，当点 C 在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程。121导数求切线 1( ,0), (0, 1),| |2DBADBD故令，则 E，F 分别为。此时。121 200,E F00/E FAB121200,1AEBFCE FFPEECFC 对和直线使用梅涅劳斯定理0000001002002221001121121()33311 233 13221()3 2121311 231 2AEECAEAEECEEF PC
8、F ECFFPEECECEEAEEACFCFCFCF ECECFFFBBFBFCFFBBFCFF PEC FF PEEE CF :P 是中点，P 在 CD 上且 P 为的重心。00E FABC面积证法（算两次）121212223 2 11()()221111()()22111,(1)(1)1(2)2ABCACDBCDCEFCEPCFPCABCADCBDCEFCABSSSCD CP SSSCE CPCF CPCP CECF SSSCA CDCB CDCD CACBCPCECFCP CD CEEACFFBCDSCE CF SCA CBCP CD: : :又21,3CP CD证毕向量证法设，我们的目
9、标是证。1 1221 1(1)1 1CECACFCB CPCD :2 322121()()2 , 11()()2122111 1121CPCACBFP FEtRFPtFEFPCPCFCACBCBCACBFECECFCACBt : : 利用中线由于故使而1 222132(1)11,112223 211t 证毕546 届届 IMO 预选题预选题已知满足 AB+BC=3AC，I 为内心。内切圆与边 AB，BC 的切点分别为 D，ABCABC E。点 D，E 关于点 I 的对称点分别为 K，L。证明：A、C、K、L 四点共圆。k MIHL DBECDA证明作的外接圆。作 BI 延长线交外接圆于 P。取
10、 AC 中点 M，连 PM，PA，PC，并过 PABC 做，垂足为 H。PHIK（1）观察和BDIPMC, 3BDBE DAECAC ABBCAC （2）2,2,2 111IA,()()2221 2 ,BDBEAC BDACCMDBIMCPDIBMPCDIMPIAPACAPABAIPABAIPIAPAPPCPIPIKDIBMPCPIHMPCIHMPDIHICPIPK PCPKPCPL :又且连又是中点同理A、C、K、L 是以 P 为圆心的圆上 4 点，A、C、K、L 四点共圆。62004 年女子数学竞赛年女子数学竞赛 6给定锐角三角形，点 o 为其外心，直线 AO 交边 BC 于 D，动点 E
11、，F 分别位于边ABC AB，AC 上，使得 A，E，D，F 四点共圆。求证线段 EF 在边 BC 上的投影的长度为定值。N.F.NFA0M.E.MEDC/ B四点共圆有提示功能过 D 做，其中 M，N 分别为垂足。分别过 M，N，E，F 做 BC,DMAB DNAC的垂线。我们只要证，并指出分别在同一侧0000,MMNNEE FF000EMF N00,F E00,NM面即可。四点共圆,AEDDFNMEDDFN :sinsin sin sinMDADDAMDNADDAN MDDAM DNDAN 其中（外接圆性质）0000190902 190902DAMAOBCDANAOCBcos(1)cosM
12、EMDC FNDNB而在中，0BMM000 00/,cosE MBMMMEEBEMBM同理在中，0CNN000 00/,cosF NCNNNFFCFNCN000000000000cos(2)cos(1) (2):()E MBFN CF NEME MF NE FM N:定值72004 年中国数学奥林匹克冬令营年中国数学奥林匹克冬令营 凸四边形 EFGH 的顶点 E，F，G，H 分别在凸四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上，且满足。而点 A，B，C，D 分别在凸四边形的边1AE BF CG DH EB FC GD HA:1111E FG H上。满足。已知11111111,H E E
13、F FG G H11111111/,/,/,/H EHE E FEF FGFG G HGH，求的值。11E A AH11FC CGFGHEDG1CF1 BE1AH1解（1）若 EF/AC11111111/,1,/,/,/BFBECG DHCGHAEFACHGCAFCEAGD HAGDHD EFE F HGH GE FACH G:即又（2）若 EF 与 AC 并不平行，设 EF 与 CA 两直线相交于点 T。111111 11 11,1,1,/,AE BF CTAE BF CG DHGD HA CT EB FC ATEB FC GD HACG DH AT T H GEC HCFT GTE HM NE AE BH AAEBADAAB AM AHMFE FAMMEAENAHAAHAE AN AD 又三点共线, 连设分别交于, 同理又看,AECAHCABCADC和和111111111,ABCAECABCADCAHCADCABCADCSAB SSAEAHAB AH EQAB AH AM SAEAD SAE AD QHAE AD ANAHSSFCFCAE CGSCGAH:同理可证81998 年全国联赛试题年全国联赛试题O，I 分别是的外心和内心。AD 是 BC 边上的高。I 在线段 OD 上。
