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1、第 1 页 共 5 页高考基本不等式专题高考基本不等式专题 典题精讲典题精讲例 1（1）已知 0x，求函数 y=x(1-3x)的最大值;31（2）求函数 y=x+的值域.x1思路分析：思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外 x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出 x0，因而 不能直接使用基本不等式，需分 x0 与 x0 讨论.（1）解法一：0x,1-3x0.31y=x(1-3x)= 3x(1-3x)2=，当且仅当 3x=1-3x，即 x=时，等号成立.x=时，函数取得最大值.31 31 2)31 (3xx 121 61 61 121解法二：0x,-x0.31
2、31y=x(1-3x)=3x(-x)32=，当且仅当 x=-x,即 x=时，等号成立.31 231xx121 31 61x=时，函数取得最大值.61 121（2）解：当 x0 时，由基本不等式，得 y=x+2=2，当且仅当 x=1 时，等号成立.x1 xx1当 x0 时，y=x+=-(-x)+.x1 )(1 x-x0,(-x)+2,当且仅当-x=,即 x=-1 时，等号成立.)(1 xx1y=x+-2.x1综上,可知函数 y=x+的值域为(-,-22,+).x1绿色通道：绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具 备.变
3、式训练变式训练 1 当 x-1 时，求 f(x)=x+的最小值.11 x思路分析：思路分析：x-1x+10,变 x=x+1-1 时 x+1 与的积为常数.11 x 解：x-1,x+10.f(x)=x+=x+1+-12-1=1.11 x11 x) 1(1) 1(xx当且仅当 x+1=,即 x=0 时,取得等号.11 x f(x)min=1.变式训练变式训练 2 求函数 y=的最小值.133224 xxx思路分析：思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分 母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开. 解：令 t=x2+1
4、，则 t1 且 x2=t-1.y=.133224 xxx1113) 1(3) 1(22 ttttt ttt第 2 页 共 5 页t1,t+2=2,当且仅当 t=,即 t=1 时，等号成立.t1 tt1t1当 x=0 时，函数取得最小值 3.例 2 已知 x0,y0，且+=1，求 x+y 的最小值.x1 y9思路分析：思路分析：要求 x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体 会. 解法一：利用“1 的代换”,+=1,x1 y9x+y=(x+y)(+)=10+.x1 y9 yx xy9x0,y0,2=6.yx xy9yx xy9当且
5、仅当，即 y=3x 时，取等号.yx xy9又+=1,x=4,y=12.x1 y9当 x=4,y=12 时，x+y 取得最小值 16.解法二：由+=1，得 x=.x1 y9 9yyx0,y0,y9.x+y=+y=y+=y+1=(y-9)+10.9yy 999 yy 99 y99 yy9,y-90.2=6.999 yy 99)9(yy当且仅当 y-9=，即 y=12 时，取得等号，此时 x=4.当 x=4,y=12 时，x+y 取得最小值 16.解法三：由+=1，得 y+9x=xy,99 yx1 y9(x-1)(y-9)=9.x+y=10+(x-1)+(y-9)10+2=16,)9)(1(yx当
6、且仅当 x-1=y-9 时取得等号.又+=1,x1 y9x=4,y=12. 当 x=4,y=12 时，x+y 取得最小值 16. 绿色通道：绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用 的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的 范围的影响. 黑色陷阱：黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：+2,即1,6.x1 y9 xy9xy6xyx+y226=12.x+y 的最小值是 12.xy产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是=，不等式等号成立的条件是 x
7、=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不x1 y9等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练变式训练已知正数 a,b,x,y 满足 a+b=10,=1，x+y 的最小值为 18，求 a,b 的值.yb xa思路分析：思路分析：本题属于“1”的代换问题.第 3 页 共 5 页解解：x+y=(x+y)()=a+b=10+.yb xaxay ybxxay ybxx,y0,a,b0，x+y10+2=18，即=4.abab 又 a+b=10，或 8, 2 ba . 2, 8 ba例 3 求 f(x)=3+lgx+的最小值（0x1）.xlg4思路分析：思路分析：0x1,lgx0,
8、0 不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.xlg4解：0x1,lgx0,0.-0.xlg4 xlg4(-lgx)+(-)2=4.xlg4)lg4)(lg(xx lgx+-4.f(x)=3+lgx+3-4=-1.xlg4 xlg4当且仅当 lgx=,即 x=时取得等号.xlg4 1001则有 f(x)=3+lgx+ (0x1)的最小值为-1.xlg4黑色陷阱：黑色陷阱：本题容易忽略 0x1 这一个条件.变式训练变式训练 1 已知 x，求函数 y=4x-2+的最大值.45 541 x思路分析：思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件 x，则 4
9、x-50.45解：解：x,4x-50.45y=4x-5+3=-(5-4x)+3541 xx451 -2+3=-2+3=1.xx451)45(当且仅当 5-4x=,即 x=1 时等号成立.x451 所以当 x=1 时，函数的最大值是 1.变式训练变式训练 2 当 x时，求函数 y=x+的最大值.23 328 x思路分析：思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是 x并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为328 xy=（2x-3）+=-（）+,再求最值.21 328 x23 xx 238 223 23解：y=（2x-3）+=-（）+，21 328 x23 xx 2
10、38 223 23当 x时，3-2x0，23第 4 页 共 5 页=4，当且仅当，即 x=-时取等号.xx 238 223 xx 238 2232 xx 238 223 21于是 y-4+=，故函数有最大值.23 2525例 4 如图 3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图 3-4-1 （1）现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 思路分析：思路分析：设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，
11、则（1）是在 4x+6y=36 的前提下求 xy 的最大值；而(2)则是在 xy=24 的前提下来求 4x+6y 的最小值. 解：解：（1）设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则由条件,知 4x+6y=36，即 2x+3y=18. 设每间虎笼的面积为 S，则 S=xy.方法一：由于 2x+3y2=2,yx32 xy6218,得 xy，即 S.xy6227 227当且仅当 2x=3y 时等号成立.由解得 ,1832,22 yxyx . 3, 5 . 4yx故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大.方法二:由 2x+3y=18，得 x=9-y.23x0,0y6.S=xy=(9-
12、y)y= (6-y)y.23 230y6,6-y0.S2=.23 2)6(yy 227当且仅当 6-y=y,即 y=3 时，等号成立，此时 x=4.5.故每间虎笼长 4.5 m,宽 3 m 时，可使面积最大. (2)由条件知 S=xy=24. 设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y.方法一:2x+3y2=2=24,yx 32 xy6l=4x+6y=2(2x+3y)48,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.由解得 ,24,32xyyx . 4, 6 yx故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小.方法二:由 xy=24，得 x=.y24l=4x+6y=+6y=6(+y)62=48,
13、当且仅当=y，即 y=4 时，等号成立，此时 x=6.y96 y16yy16 y16故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时，可使钢筋总长最小. 绿色通道：绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意： （1）x,y 都是正数； （2）积 xy（或 x+y）为定值； （3）x 与 y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论. 变式训练变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池(平面图如图 3-4-2 所示),由于地形限制,长、宽都不能超 过 16 米,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间两道隔墙建造单价为每米 248
14、元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不 计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.第 5 页 共 5 页图 3-4-2 思路分析：思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为 x 米,则宽为米(0x16,016),12.5x16.x200 x200于是总造价 Q(x)=400(2x+2)+2482+80200.x200 x200=800(x+)+16 0008002+16 000=44 800,x324 xx324当且仅当 x= (x0),即 x=18 时等号成立,而 1812
15、.5,16,Q(x)44 800.x324下面研究 Q(x)在12.5,16上的单调性. 对任意 12.5x1x216,则 x2-x10,x1x2162324.Q(x2)-Q(x1)=800(x2-x1)+324()1211 xx=8000,212112)324)( xxxxxxQ(x2)Q(x1).Q(x)在12.5,16上是减函数. Q(x)Q(16)=45 000. 答:当污水处理池的长为 16 米,宽为 12.5 米时,总造价最低,最低造价为 45 000 元. 问题探究问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第 n 层楼时,上下楼造成的不满意度为 n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第 n 层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第几楼,n8会有一个最佳满意度. 导思：导思：本问题实际是求 n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的
