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1、第四章 三角函数第 1 讲 三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考纲展示 命题探究考点 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式1 三角函数的有关概念(1)终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合|2k，kZ(2)角度与弧度的互化3602 rad；180 rad；1 rad；1 rad57.30.180(180)(3)弧长及扇形面积公式弧长公式：l|r；扇形面积公式：S lr |r2.1212其中 l 为扇形弧长， 为圆心角，r 为扇形半径(4)任意角的三角函数的定义设 是一个任意角， 的终边上任意一点 P(与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的
2、距离是 r.x2y2三角函数定义定义域sinyrRcosxrRtanyxError!Error!(5)三角函数在各象限的符号记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(6)三角函数线角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形2 同角三角函数基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan.sincos( 2k，k Z)3 诱导公式及记忆规律(1)诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan(2)诱导公式的记忆规律诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇” “偶”
3、指的是诱导公式 k 中的整数 k 是奇数还是偶数 “变”与“不变”2是指函数的名称的变化，若 k 为奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在 k 中，将 看成锐角时 k 所在的象限22注意点 应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取(1)利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号(2)利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍. 1思维辨析(1)120角的正弦值是 ，余弦值是.( )1232(2)同角三角函数关系式中的角 是任意角( )(3)六组诱导公式中的角 可
4、以是任意角( )(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与 的大小无关( )(5)锐角是第一象限角，反之亦然( )(6)终边相同的角的同一三角函数值相等( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6)2已知角 的终边经过点(4,3)，则 cos( )A. B.4535C D3545答案 D解析 由三角函数的定义知 cos .故选 D.44232453(1)角870的终边所在的象限是( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)弧长为 3，圆心角为 135的扇形半径为_，面积为_答案 (1)C (2)4 6解析 (1)因为8702360150，又150是第三
5、象限角，所以870的终边在第三象限(2)弧长 l3，圆心角 ，由弧长公式 l|r，得 r4，面积34l|334S lr6.12考法综述 对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力命题法 三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用典例 (1)已知 sincos ，且0.又(cossin)212sincos12 ，1834cossin.32(2)点 P(，m)是角 终边上一点，由三角函数定义可知 sin.又 sin3m3m2m，24m.m3m22
6、4又 m0，m25，cos. 33m264(3)设圆心角是 ，半径是 r，则 2rr40.又 S r2 r(402r)r(20r)(r10)2100100.1212当且仅当 r10 时，Smax100，此时 2101040，2.当 r10，2 时，扇形的面积最大(4) ，(6) (23)2 ，232(6)sinsin，(23)2(6)cos .(6)23答案 (1)B (2) (3)10 2 (4)6423【解题法】 同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤(1)同角关系式的应用技巧弦切互化法：主要利用公式 tan化成正弦、余弦函数sincos和积转换法：如利用(sincos)212sinc
7、os 的关系进行变形、转化巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2.(11tan2)(2)使用诱导公式的原则和步骤原则：负化正、大化小、化到锐角为终了步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为 0 之间角的三角函数，然2后求值1.若 tan2tan ，则( )5cos(310)sin(5)A1 B2C3 D4答案 C解析 cos(310)sin(5)sin(3102)sin(5)sin(5)sin(5)sincos5cossin5sincos5cossin5sincoscos5sin5sincoscos5sin53，故选 C.2sin5cos5cos5sin52s
8、in5cos5cos5sin53sin5sin52设 asin33，bcos55，ctan35，则( )Aabc BbcaCcba Dcab答案 C解析 asin33，bcos55sin35，ctan35，sin35cos35sin35sin33.cba，选 C.sin35cos353已知扇形的周长是 4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )A2 B1C. D312答案 A解析 设此扇形的半径为 r，弧长为 l，则 2rl4，面积 S rl r(42r)1212r22r(r1)21，故当 r1 时 S 最大，这时 l42r2.从而 2.lr214已知角 的顶点为坐标原点，始边为
9、 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin，则 y_.2 55答案 8解析 若角 终边上任意一点 P(x，y)，|OP|r，则sin ，cos ，tan .P(4，y)是角 终边上一点，由三角函数的定义知 sinyrxryx，又 sin，y16y22 55，且 y0，(0，2) ，当且仅当 tan2 时sin2sin24cos22sincossin24cos22tan4tan22tan4tan12取等号6在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m，n(sinx，cosx)，x.(22，22)(0，2)(1)若 mn，求 tanx 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为 ，求
10、x 的值3解 (1)mn，mn0.故sinxcosx0，tanx1.2222(2)m 与 n 的夹角为 ，cosm，n ，故3mn|m|n|22sinx22cosx1 112sin .(x4)12又 x，x ，x ，即 x，故 x 的值为.(0，2)4(4，4)46512512已知角 的终边在直线 2xy0 上，求角 的正弦、余弦和正切值错解 错因分析 直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解正解 在直线 2xy0 上取点(m,2m)(m0)则 r|m|，5当 m0 时，rm，sin ，cos ，tan 2.5yr2m5m2 55xrm5m55yx2mm当 m0 时，角 的终边过点(1，3)，利用
11、三角函数的定义可得 sin；当 a0.2(sincos)212sincos，289169sincos.1713由Error!Error!得Error!Error!tan.12532016枣强中学预测设集合 MError!Error!18045，kZError!Error!，NError!Error!xError!Error!x 18045，kZError!Error!，那么( )k4AMN BMNCNM DMN答案 B解析 MError!Error!Error!Error!Error!Error!，故当集合 N 中的 k 为偶数时，MN，当 k 为奇数时，在集合 M 中不存在，故 MN.420
12、16冀州中学一轮检测已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在直线 2xy0 上，则( )sin(32)cossin(2)sinA2 B2C0 D.23答案 B解析 由角 的终边在直线 2xy0 上，可得 tan2，原式coscoscossin2.21tan52016武邑中学一轮检测已知 sincos，(0，)，则 tan( )2A1 B22C. D122答案 A解析 解法一：由 sincossin，2(4)2(0，)，解得 ，tantan1.3434解法二：由 sincos及 sin2cos21，得(sincos)212sincos2，2即 2sincos10，cosA0，cosA0，所以|sinA|cosA|，15所以 0，cosOP1.若 ，则 sincos1.由已知 090，即 A90B，则 sinAsin(90B)cosB，sinAcosB0，同理 cosAsinC0，所以点 P 在第四象限，sin|sin|cos|cos|1111，故选 B.tan|tan|
