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1、平面图形的几何性质,I-1 静矩和形心,I-2 惯性矩 惯性积 惯性半径,I-3 平行移轴公式,I-5 主惯性轴 主惯性矩 形心主惯性轴及,形心主惯性矩,I-4 转轴公式,拉压正应力,扭转切应力,应力的计算通常用要到构件截面的几何参数,I-1 静矩和形心,一、静矩,A,ydA,A,zdA,量纲：长度三次方,微面积对z轴的静矩：,ydA,微面积对y轴的静矩：,zdA,整个平面图形对z、y两轴的静矩：,同一图形对不同的坐标轴，静矩不同。正、负、零,平面图形对某一轴的静矩等于图形面积乘以相应的形心坐标。,二、形心 C 的坐标：,若 和 ，则 和 。可见，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形
2、的形心；反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。,三、组合图形的静矩和形心,整个图形对某一轴的静矩等于各个简单图形对同一轴的静矩的代数和。,例 求图示半圆形的形心位置,由对称性，只需求 。 现取平行于y轴的狭长条作为微面积。,取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合,解：将截面分为 1，2 两个矩形。,1,2,例 试确定图示图形形心 C 的位置。,1,2,矩形 1,矩形 2,I-2 惯性矩 惯性积 惯性半径,一、惯性矩、惯性半径,量纲：长度四次方,微面积对z轴的惯性矩：,y2dA,微面积对y轴的惯性矩：,z2dA,整个平面图形对z、y两轴的惯性矩：,同一图形对不同的坐标轴，
3、 惯性矩不同。恒正,把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即,或改写为,式中， 、 分别称为图形对y轴和z轴的惯性半径， 量纲为长度。,惯性半径：,平面图形对坐标原点的极惯性矩：,图形对于任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。,二、惯性积,平面图形对y、z两轴的惯性积：,量纲：长度四次方,两个坐标轴中只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对这一对坐标轴的惯性积等于零,同一图形对不同的坐标轴，惯性积不同。正、负、零,例2 求图示矩形的,dz,c,思考：,例3 求图示圆形的,三、组合图形的惯性矩及惯性积,根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性
4、矩之和；组合图形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为,式中， 、 、 分别为第i个简单图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。,例4 求圆环的,I-3 平行移轴公式,已知:,求,解：,平行移轴公式,注意：,（1）两对平行轴中，必须有一对轴为形心轴,截面对任意两 对平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩 来换算;,（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心 轴的惯性矩最小.,例5：T字形截面,求其对形心轴的惯矩。,I-4 转轴公式,规定:角 从 到 逆时针为正。,三角函数关系:,转轴公式:,例6：求矩形对轴 、 的惯性矩和惯性积,解:矩形
5、对y、z轴的惯性矩和惯性积分别为,从本例的结果可知，当矩形变为正方形时，即在a=b时，惯性矩与角 无关，其值为常量，而惯性积为零。这个结论可推广于一般的正多边形，即正多边形对形心轴的惯性矩的数值恒为常量，与形心轴的方向无关，并且对以形心为原点的任一对直角坐标轴的惯性积为零。,讨论：当ab时，结果如何？,确定两个相差90度的角度,主惯性轴：,主惯性矩：,惯性矩有极值，惯性积为零的轴。,对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。,形心主惯性轴：,形心主惯性矩：,通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。,对形心主惯性轴的惯性矩。,例7：确定形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩,一、确定形心坐标,形心C坐标,二、确定图形对形心坐标yC、zC的惯性矩和惯性积,三、求形心主轴位置及形心主惯性矩,或,或,确定两个互相垂直的坐标轴（形心主惯性轴）,如何确定对哪个轴的惯性矩最大，对哪个轴的惯性矩最小？,（一）代入法,（二）通过比较 的大小,作业（练习）： I-4(b)(c) I-10 I-12,
