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1、历年中考数学重难点专题讲座历年中考数学重难点专题讲座第二讲第二讲 图形位置关系图形位置关系第一部分第一部分 真题精讲真题精讲【例 1】(2010，丰台，一模) 已知：如图，AB 为O 的直径，O 过 AC 的中点 D，DEBC 于点 E （1）求证：DE 为O 的切线；（2）若 DE=2，tanC=，求O 的直径1 2OED CBA【思路分析思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个 是立着，让人怀疑他们是不是串通好了近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考 察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是 直径的中点这一性质
2、。对于此题来说，自然连接 OD，在ABC 中 OD 就是中位线，平行 于 BC。所以利用垂直传递关系可证 ODDE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90这一知识点。利用垂直平分关系得出ABC 是等腰三角形，从而将求 AB 转化为求 BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。【解析】 （1）证明：联结 OD D 为 AC 中点， O 为 AB 中点，OED CBA OD 为ABC 的中位线 ODBC DEBC， DEC=90. ODE=DEC=90. ODDE 于点 D. DE 为O 的切线 （2）解：联结 DB AB 为O 的直径， ADB=90 DBAC CDB=90.
3、D 为 AC 中点， AB=AC在 RtDEC 中，DE=2 ，tanC=， EC=. （三角函数的意义要记牢）（三角函数的意义要记牢） 1 24tanDE C由勾股定理得：DC=.2 5在 RtDCB 中， BD=由勾股定理得： BC=5.tan5DCCAB=BC=5. O 的直径为 5. 【例例 2】 （2010，海淀，一模） 已知：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分OAABCBCOABFBA ，过点作于点.CBFAADBFD （1）求证：为的切线；DAOA（2）若，求的半径. 1BD 1tan2BADOAOFD CBA【思路分析思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目
4、中除垂直关系给定以外，就只 给了一条 BA 平分CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用 角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连 OA 之 后发现ABD=ABC，而 OAB 构成一个等腰三角形从而ABO=BAO，自然想到传递 这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角BAD 通过等量 关系放在ABC 中，从而达到计算直径或半径的目的。【解析】证明：连接. 3421OFD CBAAO ，AOBO . 23 ，BACBF平分 . . 12 31 . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）（得分点，一定不能忘记用内错
5、角相等来证平行）DBAO ,ADDB . . 90BDA90DAO 是O 半径，AO 为O 的切线. DA（2） ,，ADDB1BD 1tan2BAD .2AD 由勾股定理，得. 5AB .（通过三角函数的转换来扩大已知条件）（通过三角函数的转换来扩大已知条件）5sin45 是O 直径，BC . .90BAC290C 又 , ,4190 21 . （这一步也可以用三角形相似直接推出（这一步也可以用三角形相似直接推出 BD/AB=AB/AC=sinBAD）4C 在 Rt中，=5.ABCsinABBCCsin4AB 的半径为. OA5 2【例例 3】 （2010，昌平，一模） 已知：如图，点是的直
6、径延长线上一点，点 DOCAB在上，且O.OAABAD（1）求证：是的切线；BDO （2）若点是劣弧上一点，与相交 EBCAEBC于点，且，F8BE 5tan2BFA求的半径长.O【思路分析思路分析】 此题条件中有 OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来 BA 其实就是三角 形 OBD 中斜边 OD 上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定FEDCBAO理，马上可以反推出OBD=90，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么 连接 OB 以后像例 2 那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了 有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相
7、似，从而将未知条件用比例关系 与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所 以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。【解析解析】 （1）证明：连接.OB，,OAAB OAOB.OAABOB 是等边三角形.ABO.160BAO ，ABAD.230D . 1290 . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）（不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）DBBO 又点在上，BO是的切线 . DBO （2）解：是的直径，CAO.90ABC在中， ,RtABF5tan2ABBFABF设则，5 ,ABx2BFx .223AFABBFx .
8、 （设元的思想很重要）（设元的思想很重要）2 3BF AF,34CE . BFEAFC .2 3BEBF ACAF,8BE .12AC .5 分6AO 【例例 4】 （2010，密云，一模） 如图，等腰三角形中，以为直径作交于点，ABC6ACBC8AB BCOAABD 交于点，垂足为，交的延长线于点ACGDFACFCBE231FEDCBA4 O（1）求证：直线是的切线；EFOA （2）求的值sinEDFGCOBEA【思路分析思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证 EF 是切线，则需证 OD 垂直于 EF，但是本题中并未给 OD 和其他线角之间的关系，所以就需
9、 要多做一条辅助线连接 CD，利用直径的圆周角是 90，并且ABC 是以 AC,CB 为腰的 等腰三角形，从而得出 D 是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第 一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的 RT 三角形当中构造代数关系，通 过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。【解析解析】DFGCOBEA（1）证明：如图，连结，则CD90BDC CDAB ， ACBCADBD 是的中点DAB 是的中点，OBC DOAC 于 FEFAC EFDO 是的切线 EFOA ( 2 ) 连结，是直径, （直径的圆周角都是（直径的圆周角都是 9090）BGBC90BGC
10、CFE BGEFsinFCCGEECBC设，则CGx6AGx 在中，RtBGA222BGBCCG 在中， （这一步至关重要，利用两相邻（这一步至关重要，利用两相邻 RTRT的临边构建等式，的临边构建等式，RtBGC222BGABAG事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）解得即2222686xx2 3x 2 3CG 在中RtBGC 2 13sin69CGEBC【例例 5】2010，通州，一模如图，平行四边形 ABCD 中，以 A 为圆心，AB 为半径的圆交 AD 于 F，交 BC 于 G，延长 BA 交圆于 E.（1）若 ED 与A 相切
11、，试判断 GD 与A 的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若 GCCD5，求 AD 的长.GFEDCBA【思路分析思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出 DG 与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。【解析解析】（1）结论：与相切6 54321GFEDCBAGDOA证明：连接A
12、G 点、在圆上，GEAGAE四边形是平行四边形，ABCD ADBC 123B ，ABAG 3B （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把（做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把12 握已知条件往这个上面引）握已知条件往这个上面引） 在和AEDAGD12AEAGADAD AEDAGD AEDAGD 与相切EDAA 90AED 90AGD AGDG与相切 GDAA （2），四边形是平行四边形5GCCDABCD ，ABDC45 5ABAG ADBC 46 1562B （很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在（很多同学觉得题中
13、没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在22 6 RT 三角形中就产生了三角形中就产生了 30和和 60的特殊角）的特殊角） 630 . 10AD 【总结总结】 经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做 辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离， 即即“连半径，证垂直连半径，证垂直” 。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明。近年来中考基本只要求了这
14、一种证明切线的思路，但是事实上证明 切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。 第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗 含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关 系就可以了。系就可以了。第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的后通过证明垂线等于
