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1、1,理论力学,第二章 平面汇交力系与平面力偶系,2,第二章 平面汇交力学与平面力偶系 平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。本章将分别用几何法与解析法研究平面汇交力系的合成与平衡和平面力偶系的合成与平衡问题。,3,2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,若一力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，称此力系为平面汇交力系。,4,如图（b）中所示平面共点力系（是汇交力系中一种）；如图（c）中所示是平面汇交力系。前者力FTA、FTB及FT三个力都作用于O点，后者力FTA、FTB及P分别作用于A、B、C三点上，但它们作用线延长都交于O点。设刚体AB扩延至可以包含O点，则三
2、力沿其各自作用线移至O点。,5,1.平面汇交力系合成的几何法 设刚体受到平面汇交力系F1、F2、F3、F4作用，其汇交点A，,如图（a）所示。为了用几何法合成，根据力的平行四边形法则，可逐步两两合成各力。由F1、F2FR1，由FR1、F3FR2；由FR2、F4FR。如图（b）,6,还可用更简便的方法求此合力FR的大小和方向。外任取一点a将各力的矢量依次首尾相接，由此组成一个不封闭的力多边形abcde其封闭边ae为合力FR大小和方向，如下图。,7,根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢ae仍然不变。合力的作用线仍应通过原汇交点A。 总之，平面汇交力系
3、可简化为一个合力：其大小和方向等于各分力的矢量和（n个之和），其作用线通过汇交点。即,力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以称此力为汇交力系的合力。,如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向取决于各分力的代数和，即,8,对于平衡情形下，显然有力系的合力为零，其力多边形自行封闭。故平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。即,其几何条件是力多边形自行封闭。,2. 平面汇交力系平衡的几何条件,9,例题 1-1,图a所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与水平面成q = 45角。当
4、平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。,10,1.取制动蹬ABD作为研究对象，并画出受力图。,2.作出相应的力三角形。,几何法,解：,3. 由图b几何关系得：,4 .由力三角形图c可得：,例题 1-1,11,水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁的轴线成60角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自重不计。,例题 1-2,12,1.取梁AB作为研究对象。,FA = F cos30=17.3 kN FB = F sin30=10
5、 kN,2.画出受力图。,3.作出相应的力三角形。,解：,例题 1-2,4.由力多边形解出：,13,如图轧路碾子自重P = 20 kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高h = 0.08 m碾子中心O处作用一水平拉力F，试求: (1)当水平拉力F = 5 kN时，碾子对地面和障碍物的压力；(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。,例题 1-3,q,14,1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。,各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。,由已知条件可求得,再由力多边形图c 中各矢量
6、的几何关系可得,解得,解：,例题 1-3,15,2. 碾子能越过障碍的力学条件是 FA=0， 得封闭力三角形abc。,3. 拉动碾子的最小力为,由此可得,例题 1-3,16,1. 力的分解与力的投影,2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,两个汇交力可以合成一个合力，其结果是唯一的。反之，若将一个力分解成两个力，如果没有足够的附加条件，则其解答是无穷多的（是不定的）。但一般将它分解为两个正交的分力FRx、FRy，如图所示：则,而,Fx和Fy称为力FR在x和y轴上的投影,i, j 分别是x和y轴方向的单位矢量,17,由此可知，利用力在轴上的投影，可以表示力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。 不
7、过应注意的是：分力是矢量，而力的投影是代数量。确定不出力矢作用位置，它们是两个不同的概念。只有对于正交坐标系它们之间的才有关系：,其中,如果已知力FR在x和y轴上的投影，则可求得力FR的大小和方向余弦为,上式也称为力的解析表达形式,18,FR,F1,F2,F3,Fn,y,x,i,j,O,2、平面汇交力系合成的解析法 设由n个力组成的平面汇交力系，如图所示。其合力FR可表示为分力的矢量和,由力的解析表达式,可得,由上式可得合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,19,合力矢FR的大小和方向余弦为,其数学表达式为,20,3. 平面汇交力系的平衡方程,由前节知，平面
8、汇交力系平衡条件，该力系合力FR等于零，即,欲使上式成立，必须同时满足,于是，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立方程，可以求解也只能求解两个求知数。,21,1.取制动蹬ABD作为研究对象。,2.画出受力图，并由力的可传性化为共点力系。,解,3.列出平衡方程：,联立求解得,已知：,例题 1-4,用解析法再解例题 1-1,22,求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。,解：,根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别
9、为：,例题 1-5,23,合力的大小：,合力与轴x，y夹角的方向余弦为：,所以，合力与轴x，y的夹角分别为：,例题 1-5,24,利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重P = 20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。,例题 1-6,25,1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。,2.画出受力图。,3.列出平衡方程：,联立求解得,解：,例题 1-6,约束力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。,26,如图所示，重物P =20 kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰
10、接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。,例题 1-7,27,列写平衡方程,解方程得杆AB和BC所受的力:,解：,取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。,例题 1-7,显然，F1=F2=P,28,梯长AB =l ，重P =100 N，重心假设在中点C，梯子的上端A靠在光滑的端上，下端B放置在与水平面成40角的光滑斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以及梯子和水平面的夹角。,例题 1-8,29,梯子受三力平衡，由三力汇交定理可知,它们交于D点。,1.求约束力。,解：,列平衡方程：,联立求解，考虑到 = 5 ，
11、得,FA=83.9 N，FB=130.5 N,例题 1-8,30,角可由三力汇交的几何关系求出。,已知C是AB中点，DE是平行四边形ADBE的对角线，所以C也是DE的中点。,2.求角。,y,由直角三角形BEC和BED，有,例题 1-8,31,车间用的悬臂式简易起重机可简化为如图所示的结构。AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。设已知电葫芦和提升重物P=5 kN,=25o，AD=a=2m, AB=l=2.5m。如吊车梁的自重可略去不计，求钢索BC和铰A的约束力。,例题 1-9,32,选择吊车梁为研究对象，在吊车梁上总共有三个不平行的力作用，根据三不平行力的平衡条件，可以肯定铰A的约
12、束力FA必通过力P与FB 的交点O。,解：,例题 1-9,33,解联立方程求得,FA = 8.63 kN FB = 9.46 kN,把三个力移到点O，作直角坐标系，如图 a 所示。列平衡方程：,tan j = 0.117,式中角可由图 b 中的几何关系求得,例题 1-9,34,23 平面力对点之矩的概念及计算,力对刚体的运动效应包括移动和转动两种，其中移动由力矢来度量，而转动由力矩（或力偶）来度量。,力矩，即力对点之矩，是使刚体产生转动效应。效应大小取决于力的大小与力臂的乘积，平面力对点之矩是一个代数量。它的转向人为规定一般取逆时针转向时为正，反之为负。,F对矩心点O之矩,式中为三角形OAB
13、的面积，如图2-8所示。单位为Nm或kN m。,1、力矩,35,力F的作用点沿其作用线移动，不改变这力对O点的矩。,36,2、合力矩定理与力矩的解析表达式,合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。即,为了便于计算力对点之矩，将力分解成两个正交分力，如图所示，再利用合力矩定理求得。即,上式为平面内力矩的解析形式。注意，式中各量应以代数量代入。,37,合力FR对点O之矩的解析表达式为,如图所示，如果已知：F、q 、j 、l , 要 求力F对点A之矩,（1）按力矩的定义,（2）应用合力矩定理,38,24 平面力偶,1力偶与力偶矩,由两个大小相等、方向相反
14、且不共线的平行力组成的力系，称为力偶。如图所示，记作（F，F）。力偶的两力之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。,39,如司机用双手转动驾驶盘，钳工用丝锥攻螺纹，人们用手指转动钥匙或水龙头等等都是力偶作用的例子。,40,力偶不能合成为一个力，但又不平衡，故力偶也不能用一个力来平衡。力偶和力一样为一个基本力学量。,力偶的作用只改变物体的转动状态，其效应用力偶矩来度量，其值为力与力偶臂的乘积，即Fd与矩心位置无关。平面力偶对物体的作用效应，由两个因素决定：,因此，平面力偶矩是一个代数量，以M表示，即,M=Fd=2AABC,转向用正负号表示，用力矩规定。力偶矩的单位Nm，与力矩相
15、同。,（1）力偶矩的大小 （2）力偶在作用面的转向。,41,2同平面内力偶的等效定理,定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。,42,这样，力偶中的力的大小和力臂长短都不是力偶的特征量，故常用下图所示的符号表示。,（1）力偶可以在其作用面内任意移转，而不影响它对于刚体的效应。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面的位置无关。,由此可得两个推论：,（2）只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。,=,=,=,F,F,d,F1,F1,d1,F2,F2,d2,M,43,3平面力偶系的合成与平衡(1) 平面力偶系的合成,M
16、1=F1d1 M2=-F2d2,根据力偶的性质，将它们转移并化为相同臂长d的力偶，如图（a)分别为,M1=F1d1=F3d M2= -F2d2= -F4 d,F=F3-F4 F=F3-F4,将作用在点A、B的力分别合成得,设在刚体同一平面内有两个力偶，所示,44,同理，可以推得几个力偶的合成。即作用于刚体同平面内的任意个力偶可以合成一个合力偶，合力偶矩等于各个分力偶矩的代数和。可表示为,F，F组成一新力偶即为合力偶 ，合力偶 的矩为,M=Fd=（F3-F4）d=F3d-F4d=M1+M2,45,（2）平面力偶系的平衡,若力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。即,上式是平面力偶系平衡的必要与充分条件，即平面力偶系的平衡方程。只有一个独立方程，只能求解一个求知数。,46,在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为M1=M2=M3=M4=15Nm。 求工件的总切削力偶矩和A 、B端约束力。,
