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1、第三章 短期聚合风险模型,风险理论,第一节 短期聚合风险模型的概念,设N是给定时期中风险事故发生次数，Xi 是第 i次风险事故的损失，则这一时期的总损失为 S=X1+X2+XN 一般情况下，风险事故发生次数N为随机变量，因此短期聚合风险模型表现为一个随机过程。,第二节 短期聚合风险模型的特点,短期个别风险模型与短期聚合风险模型的区别： 假设有10个风险载体，标号分别为#1、#2、#10。 在1年内共发生5次损失事故。 第 i 次事故 1 2 3 4 5 损失 0.65 1.24 1.19 0.30 2.47 风险载体标号 #7 #2 #3 #5 #7 试计算总损失量S。,第二节 短期聚合风险模
2、型的特点,个体模型： S=X1+X2+X10 其中 Xi为第i个风险载体的损失量。 S= 第1号个体损失+第2号个体损失 +第10号个体损失 = 0+1.24+1.19+0+0.30 +0+(0.65+2.47)+0+0+0 =5.85,聚合模型: S=X1+X2+X5 其中 Xi为第i次事故导致的损失量； S=第1次事故损失+第2次事故损失 +第5次事故损失 =0.65+1.24+1.19+0.30+2.47 =5.85,教材短期个体风险模型 书后练习1（参见课件第2章）,X = 抛5次硬币获得的正面朝上数； Y = 抛X个骰子获得的点数； 求：EY和VarY,解1：利用短期个体风险模型,理
3、解为：分别抛5个硬币，对于所抛的每个硬币，如果朝向就抛一个骰子， 记下点数W。于是 Y=W1+W2+W3+W4+W5。 其中，Wi是第i个硬币朝上时抛骰子所获得的点数。 W=IB，I=硬币朝上的值（0或1），q=Pr(I=0)=Pr(I=1)=1/2 B=骰子的点数（16），P(B=j|I=1)=1/6, j=1,2,6 =EB|I=1=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2 EB2|I=1= (1+4+9+16+25+36)/6=91/6 2=VarB|I=1=35/12 EY=5q=5(7/2)(1/2)=35/4 VarY=5q(1-q)+2q=5(47/4)(1/2)(1/2)+(35
4、/12)(1/2)=1085/48,解2：利用短期聚合风险模型,第三节 总损失S的分布,X的k阶原点矩为 pk=EXk； X的矩母为Mx(t)=EetX; N的矩母为MN(t)=EetN; S的矩母为MS(t)=EetS; ES=EES|N=EENi=1Xi|N=ENEXi=ENp1=p1EN; VarS=EVarS|N+VarES|N=ENvarX+VarNEX =ENVarX+VarN(E X )2 =(p2-p12)EN+p12VarN;,第三节 总损失的分布,练习1,设理赔次数N服从几何分布，即 Pr（N=n）=pqn; n=0,1,2, 其中，p=1-q，0q1。 试用个体损失X的矩
5、母表示总损失S的矩母。,解,MN(t)=EetN=n=0etnPr(N=n)= n=0 p(qet)n =p n=0(1-qet)(qet)n/(1-qet) =p/(1-qet) MS(t)=MN(lnMX(t)=p/(1-q exp(lnMX(t) =p/(1-qMX(t),全概率=1,第三节 总损失S的分布,S的概率分布为：,例题,某风险载体在确定期间发生0、1、2、3次损失事故的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2。损失量答1、2和3的概率分别为0.5、0.4和0.1。计算总损失量的分布。 N：0,1,2,3 X：1,2,3 N=n 0 1 2 3 X=x 1 2 3 fN(n)
6、0.1 0.3 0.4 0.2 fX(x) 0.5 0.4 0.1,解,N：0,1,2,3 X：1,2,3 N=n 0 1 2 3 X=x 1 2 3 fN(n) 0.1 0.3 0.4 0.2 fX(x) 0.5 0.4 0.1 因N最大为3，X最大为3，所以S最大为9。 fS(x)=Pr(S=x)=n=0,1,2,3f*n(x)fN(n) f*n(x)=Pr(X1+X2+Xn=x) =all yx Pr(X1+X2+Xn-1+Xn=x|Xn=y)Pr(Xn=y) =all yx f*(n-1) (x-y) f(y) 特别地，f*0(x)=Pr(0=x) 当且仅当x=0时, f*0(0)=
7、1 f*1(x)=Pr(X1=x) f*2(x)=Pr(X1+X2=x) f*3(x)=Pr(X1+X2+X3=x),例题（续）,练习1,N服从几何分布，即 Pr（N=n）=pqn，n=0,1,2, p=1-q,00 试证明：MS(t)=p+q p/(p-t),答案,答案(续),0的矩母,指数分布(=p)的矩母,第四节 N的分布的选择,事故发生次数N的分布 对于EN=VarN的情形,选N服从泊松分布; 对于VarNEN的情形,选N服从负二项分布. （1）对于N服从泊松分布的情形: 称S服从复合泊松分布 ES=EES|N=EX=p1 VarS=VarES|N+EVarS|N =VarN EX+E
8、N VarX =(EX)2VarN+VarXEN = p12+ (p2-p12) = p2,当S复合泊松时: ES= p1 VarS= p2,第四节 N的分布的选择,当S服从复合 泊松分布时， MS(t)=MN(lnMX(t)=exp(elnMx(t)-1) =exp(MX(t)-1),第四节 N的分布的选择,（2）N服从参数为的泊松分布，而的概率密 度为 u(), 0 则 EN=EEN| =E； VarN=EVarN| +VarEN| =E+Var。 MN(t)=E(etN)=EEetN| =Eexp(et -1)=M(et - 1),练习2,对于总损失量S=X1+X2+XN，已知 1）X的
9、分布为 x f（x） 1 p 2 1-p 2）服从泊松分布，参数为1/p； 3）当=时，N服从泊松分布，参数为； 4）N与Xi 相互独立； 5）Var（S）=19/2 求：p。,答案,Var(S)=Var(E(S| )+E(Var(S| ) =Var(p1)+E(p2) =(p1)2Var()+p2E() p1=(1)(p)+(2)(1-p)=2-p; P2=(1)2(p)+(2)2(1-p)=4-3p; Var()=1/p; E()=1/p,答案（续）,(2-p)2(1/p)+(4-3p)(1/p)=19/2 p2-16.5p+8=0 (p-16)(p-0.5)=0 p=16(舍)，p=1/
10、2,第五节 X的分布的选择,因为,第五节 X的分布的选择,可见，X的分布的选择将决定卷积运算的难度和复杂程度。 所以，应当尽量选择方便卷积运算的分布。 通常选择X为离散型随机变量。,第六节 复合泊松分布的性质,从上节的讨论看，通常选择X为离散性随机变量将方便运算；对于N服从泊松分布的情况，我们可以有哪些方法计算呢？ 1）卷积法； 2）利用复合泊松分布的一些特性（本节介绍）； 3）其他方法。,第六节 复合泊松分布的性质,定理： 如果S1、S2、Sm是相互独立随机变量，Si是参 数、分布函数Fi(x), ( i=1,2,m) 的复合泊松分布随机变 量。 则，S=S1+S2+Sm 是复合泊松分布随机
11、变量，且其 参数和分布函数分别为,定理证明,思考题,本定理中，请选择： 1）Fi(x) 是哪个随机变量的分布函数？ 2）F(x) 是哪个随机变量的分布函数？ 3）i 是哪个随机 变量的泊松分布参数？ 4） 是哪个随机 变量的泊松分布参数？ （A）总损失S （B）Si对应的个体损失X （C）S对应的个体损失X （D）Si 对应的损失次数N （E）S 对应的损失次数N,答案,本定理中， 1）Fi(x)是什么随机变量的分布函数？ 答：Si对应的个体损失X （B） 2）F(x) 是哪个随机变量的分布函数？ 答：S对应的个体损失X （C） 3）i 是哪个随机 变量的泊松分布参数？ 答：Si对应的损失次数
12、N （D） 4）是哪个随机 变量的泊松分布参数？ 答：S对应的损失次数N （E）,要点,由于总损失S的分布性质通常难以直接描述，所以当S服从复合泊松分布时，就用其对应的损失次数N的参数、个体损失X的分布函数来描述S的分布性质。,练习3,S1服从复合泊松分布，参数为=3，f(1)=f(2)=f(3)=1/3； S2服从复合泊松分布，参数为=2，f(1)=f(2)=1/2； 求S1+S2分布对应的f(2)。,答案,根据本章定理， f(x)=(i/ )fi(x) f(1)=(3/5)(1/3)+(2/5)(1/2)=2/5; f(2)=(3/5)(1/3)+(2/5)(1/2)=2/5; f(3)=
13、(3/5)(1/3)+(2/5)(0)=1/5.,练习4,S为总损失量，损失次数N的概率分布为： N=n Pr（N=n） 0 0.5 1 0.25 2 0.25 损失量服从泊松分布(参数为2)。求S的方差。,答案,Var(S)=E(N)Var(X)+(E(X)2Var(N) E(N)=(0)(0.5)+(1)(0.25)+(2)(0.25)=0.75 E(N2)=(0)(0.5)+(1)(0.25)+(4)(0.25)=1.25 Var(N)-1.25-(0.75)2=0.6875 E(X)=2 Var(X)=2 Var(S)=(0.75)(2)+(2)2(0.6875)=4.25,练习5,个
14、体损失量服从正态分布，参数为100和32。 灾害次数N的分布为 n Pr（N=n） 0 0.50 1 0.20 2 0.20 3 0.10 求总损失量超过100的概率.,解答,Pr(S100)=Pr(S100|N=0)Pr(N=0)+Pr(S100|N=1)Pr(N=1) +Pr(S100|N=2)Pr(N=2)+Pr(S100|N=3)Pr(N=3) Pr(S100|N=0)=0 For N=1,2,3 Pr(S100|N=n)= Pr(X1+X2+Xn100)=Pr(Sn100) = Pr(N(0,1)(100-n)/(n2)1/2) = 1-(100-n)/(n2)1/2) = 1- (
15、100-100n)/(9n)1/2) Pr(S100|N=1)=1- (0)=0.5 Pr(S100|N=2)=1- (-23.57) 1.0 (23.574) Pr(S100|N=3)=1- (-38.49) 1.0 (23.574) Pr(S100)=(0.5)(0.2)+(1)(0.2)+(1)(0.1)=0.4,练习6,先抛一个各侧面且标有数字1、2的均匀硬币，记下出面的数字N，然后抛各侧面标有0、1的N个均匀硬币，记下出现正面的数量S。求S的分布、均值和方差。,解,N：1，2； X：0，1；S：0，1，2 P(S=0)= P(N=1)P(X=0)+P(N=2)P(X=0)P(X=0)
16、=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)=3/8 P(S=1)= P(N=1)P(X=1) +P(N=2)P(X=0)P(X=1)+P(N=2)P(X=1)P(X=0) =(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)=1/2 P(S=2)=P(N=2)P(X=1)P(X=1)=(1/2)(1/2)(1/2)=1/8 E(S)=0(3/8)+1(1/2)+2(1/8)=3/4 E(S2)=0(3/8)+1(1/2)+4(1/8)=1 Var(S)=1-(3/4)2=7/16 或 E(N)=1(1/2)+2(1/2)=3/2 E(N2)=1(1/2)+4(1/2)=5/2 Var(N)=5/2-(3/2)2=1/4 E(X)=1/2 E(X2)=1/2 Var(X)=1/4 E(S)=E(N)E(X)=(3/2)(1/2)=3/4 Var(S)=Var(N)E(X)2+E(N)Var(X)=(1/4)(1/2)2+(3/2)(1/4)=7/16,
