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1、21 等差数列,一、等差数列的定义 1一个数列an，如果从_起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an1and(常数)，则称这个数列为_，常数d叫做这个数列的_. 2等差中项：如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的_.,友情提示：对等差数列的理解还需注意以下五点： (1)如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列； (2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“
2、同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉；,(3)求公差d时，可以用danan1，也可以用dan1an来求； (4)公差dR，当d0时，数列为常数列；当d0时，数列为递增数列；当d0时，an是递增数列；当_时，an是递减数列；当d0时，an为_；,(3)_ (m，nN*)； (4)kanb是等差数列，公差为_； (5)a2n是等差数列，公差为_； (6)当kn是等差数列时(kn是正整数)，akn是_； (7)若bn是公差为d的等差数列，那么1an2bn(1，2为常数)也是等差数列，公差为_； (8)_ankank(nk1),四、等差数列的判定和证明 (1)证明方法：定义法，即若一个数
3、列an满足_，则数列an为等差数列 (2)常见判定方法(充要条件)：若一个数列an满足：_或_，则这个数列为等差数列,答案： 第2项 等差数列 公差 等差中项 ana1(n1)d anam(nm)d andn(a1d) amanapaq d0，故d2. 故an首项为2. 答案：B,变式训练3 数列an(nN)中，若an1是an和an2的等差中项，则数列an是否为等差数列？并证明你的结论 解析：an1是an和an2的等差中项， an1 ，即an1anan2an1， a2a1a3a2a4a3anan1 故数列an为等差数列,若an是等差数列，且不是常数数列(即公差d0)，则对任意正整数m，n，p，
4、q，k，有mnpqamanapaq. 特别地，有2kpq2akapaq. 这是等差数列的一个重要性质，有广泛的应用，活用这一性质，往往会给解题带来很大方便,例4 在等差数列an中，已知a2a5a89，a3a5a721，求数列的通项公式 解析：a2a5a89，a3a5a721， 又a2a8a3a72a5， a3a72a56， a3a77， 由解得a31，a77或a37，a71， a31，d2或a37，d2. 由ana3(n3)d，得an2n7或an2n13.,变式训练4 在等差数列an中，已知a3a4a5a6a7450，求a2a8. 解析：a3a7a4a62a5， a3a7a4a6a55a545
5、0， a590.又a2a82a5， a2a8180.,例5 若an为等差数列，a158，a6020，则a75_.,分析：求通项公式，关键在于求出首项和公差,解得d2或d2. 当d2时，a11d1， an12(n1)2n3； 当d2时，a11d3， an32(n1)2n5. an2n3或an2n5.,例6 (1)求证：“an是等差数列”的充要条件是“存在常数k和b，使anknb对一切nN*都成立”； (2)试问：是否存在等差数列an满足an1anan1(nN*)？若存在，请求出通项公式，若不存在，请说明理由,解析：(1)充分性：anknb， an1k(n1)b， 于是an1ank(n1)b(kn
6、b)k(常数)， an是公差为k的等差数列 必要性：an是等差数列，设其公差为k， ana1(n1)kkna1k. 取ba1k，于是anknb.,(2)假设存在等差数列an满足性质an1anan1(nN*)， 根据(1)可设anknb，于是k(n1)b(knb)2n(knb)1， 即(k2k)n2(2bkbk)nb21kb0对一切nN*恒成立,由得k0或k1， 当k0时，代入得b0，不满足； 当k1时，代入得b1，满足， 所以ann1， 故等差数列n1满足性质an1 nan1(nN*),变式训练6 已知成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这个等差数列,解析：设成等差数列的四个数依次为a3d，ad，ad，a3d. 由题设知这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.,同步检测训练,
